As
i 1,2,L , s.
a1 j
按列分块 A
A1, A2 ,L
, An ，其中
Aj
a2 j M
,
j 1,2,L ,n. anj
一、分块矩阵的运算
1、加法 设 A, B 是两个 m n 矩阵，对它们
用同样的分法分块:
A11 A
As1
A1r
B11
, B
A1t
A2t L
Ast
例1 设
1 0 0 0
A
0 1
1 2
0 1
00 ,
1 1 0 1
求 AB.
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
,
1 1 2 0
解 把A, B分块成
1 0
A
0
1
1 0
0 1
E
E
,
1 0 1 0
B
1 1
2 0
0 4
1 1
1 1 2 0
,
O
Bs
A1 B1
则 A B
A2 B2

O
，
O
O
As
BS
A1B1
AB
A2 B2
O
O
.
O
As BS
(2) 准对角矩阵
A1
A
A2
O O
O
As
可逆
Ai 0，i 1,L , s Ai可逆，i 1,L , s
且
A11
A1
A21
O
O
O
As1
5 0 0
AB
Cs1 Csr
t
其中Cij Aik Bkj i 1, , s; j 1, , r .
k 1
4、转置
A11 A12 L
设分块矩阵
A
A21
A22
L
L L L
As1
As2 L
A1t
A2t
,
则
L
Ast
A
A11 A12
A21 L A22 L
As1 As2
.
M M M M
Asr
Bs1
B1r
Bsr
其中子块 Aij与 Bij 为同型矩阵，则
A11 B11 A B
As1 Bs1
A1r B1r .
Asr Bsr
2、数量乘法
A11 L
设分块矩阵
A
L
L
As1 L
A1r
L
,
Asr
P, 则
A11 A
As1
A1r
a11 a12 L
AB
a21
a22
L
L L L
an1
an2
L
a1m B1 C1
a2m
B2
C2
L M M
anm
Bm
Cn
于是有 ai1B1 ai2B2 L aim Bm Ci , i 1, 2,L , n
即C的行向量组可由B的行向量组线性表出. R(C) R(B)
B11 E B21 B22
则 AB E O B11 E A1 E B21 B22
B11
E .
A1B11 B21 A1 B22
又
A1B11 B21
1 1
2 1 1 1
0 1 2 1
0 1
3 4 1 0 2 4, 0 2 1 1 1 1
例4 A、B为n级方阵，证明，若AB 0，则 R( A) R(B) n .
证： AB 0,
A B1, B2 ,L , Bn 0, Bi 为 B 的列向量， AB1, AB2,L , ABn 0,
D1
A1 B1CA1
0 B1
.
三、准对角矩阵
定义
形式如
A1
A
A2
O
O
,
As
的分块矩阵，其中 Ai 为 ni 级方阵 (i 1,2,L , s),
称为准对角矩阵.
性质
(1) 设准对角矩阵 A, B 级数相同，并且分法相同,则
A1
A
A2
O O
,
O
As
B1
B
B2
O O
一、分块矩阵的概念
定义 设A是一个矩阵，在A的行或列之间加上
一些线，把这个矩阵分成若干小块．用这种 方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵． 每一个分块的方法叫做A一种分法．
特殊分法 设矩阵 A (aij )sn ,
A1
按行分块
A
A2
,
M
其中 Ai (ai1,ai2 ,L ,ain ),
.
Asr
3、乘法 把矩阵 A (aik )mn , B (bkj )np 分块成
A11 A
As1
A1t , Ast
B11 B
Bt1
B1r , Btr
其中Ai1 , Ai2 , , Ait的列数分别等于B1 j , B2 j , , Bij
的行数, 那末
C11 C1r
证
Q
D
A C
0 B
AB
0,
∴ D 可逆. 设逆阵
D1
X X
11 21
X X
12 22
,
于是
A C
0 B
X X
11 21
X X
12 22
Ek 0
0 Er
,
即
AX11 Ek
CAXX1112
0 BX
21
0
BX 22 Er
X11 A1 X12 0 X 21 B1CA1
X22 0
例3
A
0 0
3 2
1 1
，求A1
解：
Q
5 1
1 5
,
3
2
11 1
1
2
1
1
，
1 5 0 0
A1
0 0
1 2
1 3
.
附： 一些特殊分块乘积
① 一般线性方程组 AX ， A 1,2,L ,n
则有
x1
1,2 ,L
n
x2
M
，
xn
即 x11 L xnn .
② 若 Amn = ( A1, A2 ,L , An ), D diag(1,2 ,L ,n )
1
则
Amn D =( A1, A2 ,L
An
)
2
O
O
O
n
(1 A1,2 A2 ,L ,n An )
A1
若
Amn
=
A2
,
D diag(1,2 ,L ,m ),
Am
1
则
DAmn
2
O O
A1
A2
1 A1
2 A2
.
M M
O
m
Am
m
Am
③ 设矩阵 A (aij )nm , B (bij )ms , AB C (cij )ns , 若把矩阵B, C按行分块，则
若把矩阵A, C按列分块，则
b11 b12 L
AB
A1, A2 ,L , Am
b21
L
b22 L
L L
bm
1
bm 2
L
于是有
b1s
b2 s L
C1,C2 ,L
,Cs
bms
b1 j A1 b2 j A2 L bmj Am C j , j 1, 2,L , s
即C的列向量组可由A的列向量组线性表出. R(C) R( A).
1 2 4 1 3 3
A1 B22
1
, 1 2 0 3 1
于是 AB B11
E
A1B11 B21 A1 B22
1 0 1 0
1 2
4 4
0 3
13 .
1 1 3 1
例2
设
D
A C
0 B
,
其中 A, B 分别为 k 级和 r 级可逆矩阵，C为 r k
证明：D 可逆，并求其逆．