新乡市2021届高三第一次模拟考试
数 学（理科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上。

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的． 1．复数()
(
)
13z i i ＝＋－，则｜z ｜＝
A ．4
B ．22
C ．3
D ．23 2．已知集合A ＝{a ，a 2－2，0}，B ＝{2a ，a ＋b}，若A ∩B ＝{－1}，则b ＝ A ．－1 B ．－2 C ．0 D ．1
3．椭圆C ：22213x y a ＋＝（a ＞0）的焦点在x 轴上，其离心率为1
2
，则
A ．椭圆C 的短轴长为3
B ．椭圆
C 的长轴长为4
C ．椭圆C 的焦距为4
D ．a ＝4
4．下方程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．
执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6，9，0，则输出a 和i 的值分别为
A ．0，3
B ．3，3
C ．0，4
D ．3，4
5．已知a ，b 是两条不重合的直线，β是一个平面，b ⊂β，则“a ⊥β”是“a ⊥b ”的
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，3a ＋5S ＝－18，6a ＝－3a ，则下列数值中最大的
是 A ．
416S B ．525S C ．636
S
D ．749S
7．已知函数f （x ）＝2x 2－lnx ，若f （x ）在区间（2m ，m ＋1）上单调递增，则m 的取值范
围是
A ．[
14，1） B ．[1
4，＋∞） C ．[1
2
，1） D ．[0，1）
8．已知单位圆上第一象限内的一点P 沿圆周逆时针旋转4
π
到点Q ，若点Q 的横坐标为－35，
则点P 的横坐标为 A
B
C
D
9．已知各项均为正数且单调递减的等比数列{n a }满足3a ，43
2
a ，52a 成等差数列，其前n 项
和为n S ，且5S ＝31，则
A ．4
12n n a ⎛⎫
⎪
⎝⎭
－＝ B ．3
2
n n a ＋＝
C ．5
1322
n n S －＝－
D ．4
2
16n n S ＋＝－
10．已知函数f （x ）＝sinx ，函数g （x ）的图象可以由函数f （x ）的图象先向右平移
6
π
个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1
ω
（ω＞0）得到．若函数g （x ）在（0，π）上恰有5个零点，则ω的取值范围是 A ．[
316，376） B ．（316，376] C ．[256，316） D ．（256，316
]
11．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点H 在棱AA 1上，且HA 1＝1，P 是
侧面BCC 1B 1内一动点，HP
CP 的最小值为
A ．132－
B ．133－
C ．152－
D ．153－
12．已知F 1，F 2分别是双曲线22
221x y a b
－＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在双曲线右
支上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A ．若｜F 1A ｜＝5b ，则该双曲线离心率的取值范围为 A ．（1，2） B ．（2，32） C ．（2，3） D ．（3
2
，3）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13．已知函数f （x ）是定义域在R 上的奇函数，当x ∈（－∞，0]时，f （x ）＝x －2x ＋m ，
则f （1）＝__________．
14．已知实数x ，y 满足条件20220230x y x y x y ⎧⎪
⎨⎪⎩
＋－≥，－－≤，＋－≤，则z ＝2x ＋2y 的最大值为__________．
15．一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则
此质点在第10秒末到达点P （2，6）的跳法共有__________种． 16．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中
旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此，挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，AB ＝30 m ，
BC ＝402m ，CD ＝50 m ，∠ABC ＝∠BCD ＝45°，要建设一条点
A 到点D 的空中长廊，则AD ＝__________m ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，bsinA ＝3sinB ，b 2＋c 2－a 2＝bc ．
（1）求△ABC 外接圆的面积；
（2）若BC边上的中线长为33
2
，求△ABC的周长．
18．（12分）
如图，在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且AB＝2AD＝4，∠DAB＝60°，AD⊥D1D．
（1）证明：AD⊥BD1．
（2）若D1D＝D1B＝2，求二面角A—BC—B1的正弦值．
19．（12分）
已知曲线C上每一点到直线l：x＝－3
2
的距离比它到点F（
1
2
，0）的距离大1．
（1）求曲线C的方程；
（2）若曲线C上存在不同的两点P和Q关于直线l：x－y－2＝0对称，求线段PQ中点的坐标．
20．（12分）
甲、乙两人想参加某项竞赛，根据以往20次的测试，分别获得甲、乙测试成绩的频率分布直方图．
已知甲测试成绩的中位数为75．
（1）求x，y的值，并分别求出甲、乙两人测试成绩的平均数（假设同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）．
（2）某学校参加该项竞赛仅有一个名额，结合平时的训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：答题过程中，若答对则继续答题，若答错则换对方答题．例如，若甲首先答题，则他答第1题，若答对继续答第2题，如果第2题也答对，继续答第3题，直到他答错则换成乙开始答题，……，直到乙答错再换成甲答题，依次类推两人共计答完21道题时答题结束，答对题目数量多者胜出．已知甲、乙两人
答对其中每道题的概率都是
3
5
，假设由以往20次的测试成绩平均分高的同学在选拔比赛中最先开始作答，且记第n 道题也由该同学（最先答题的同学）作答的概率为P n （1≤n ≤21），其中P 1＝1． ①求P 2，P 3；
②求证{1
2
n P －}为等比数列，并求n P （1≤n ≤21）的表达式．
21．（12分）
已知函数f （x ）＝xln （ax ）－e －
a （a ∈R ，且a ≠0，e 为自然对数的底）． （1）求函数f （x ）的单调区间． （2）若函数()()ln a
g x f x e
＝＋在（0，＋∞）有零点，证明：121a ea ＋＋＞1e ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C ：
sin3ρθ＝（ρ∈R ，θ∈[0，2π）
），被称为“三叶玫瑰线” （如图所示）．
（1）求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标； （2）射线l 1，l 2的极坐标方程分别为0θθ＝，02
πθθ＝＋
（0θ∈[0，2π），ρ＞0），l 1，
l 2分别交曲线C 于点M ，N 两点，求2
2
11OM
ON
＋的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）＝｜x ＋a ｜－5． （1）证明f （x ）≤｜x ＋a －5｜；
（2）已知a ＞0，若不等式f （x ）＋2｜x －1｜＜0的解集为（m ，n ），且n －m ＝
4
3
，求a 的值．。