t1
M Z dt
I Z 常量
7 .质点直线运动和刚体的定轴转动物理量对比 质点直线运动 刚体的定轴转动 角位移 位移 x dx d v 角速度 速度 dt 2 dt 2 d d dv d x 2 2 角加速度 加速度 a dt dt
dt dt
质量 功 动能 动量 功率
1 I 2 mghC 常量 2
d M ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ I I d t 2 A M Z d
1
5. 角动量和冲量矩
刚体的角动量 恒力矩的冲量 变力矩的冲量
LZ I M Z t

t2
6. 角动量定理和角动量守恒定律 dLZ 角动量定理 MZ dt t2 t1 M Z dt ( I)2 ( I )1 角动量守恒定律:当合外力矩为零或远小于内 力矩时
3. 质量分别为M1、M2,R1、R2的两个均匀圆柱体可分别绕它们 本身的轴转动,二轴平行.开始时它们分别以角速度 10 、 20匀速 转动,然后平移两轴使他们的边缘互相接触.试分析在此过程中以 两圆柱为系统,对O1或O2的角动量是否守恒?如何求解当两圆柱的 接触点无相对滑动时,它们的角速度 1和 2 ?
学习要求
2.理解力矩和转动惯量的物理意义.掌握刚体定轴转 动定律并能结合牛顿运动定律求解定轴转动刚体与质 点的联动问题. 3.会计算力矩的功,刚体定轴转动动能和刚体的重力势 能.在重力场中能在有刚体作定轴转动的问题中正确地 应用机械能守恒定律. 4.会计算刚体对固定轴的角动量,掌握角动量定理,并能 对含有定轴转动刚体在内的系统正确应用角动量守恒 定律.
(2)这两个力都垂直于轴作用时它们对轴的合力矩可能为零;
(正确)
(正确)
(3)这两个力矢量和为零时,它们对轴的合力矩一定为零;
(不正确)
(4)这两个力对轴的合力矩为零时,它们的矢量和一定为零;
(不正确)
2. 一圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴OO’以角速 O 度沿顺时针方向转动。
v v
(1) 在同一水平直线以相反方 向同时射入两颗质量相同,速率相 等的子弹,并留在盘中,盘的角速 度如何变化?
课堂计算题
1.已知:如图，m=2.0kg,R=0.5m,k=20N/m,j=7.5kg· m2 , =37°.不计摩擦.当弹簧无形变时将A由静止释放.求
B R
(1)A下滑的加速度; (2)A下滑的最大速率; (3)A下滑的最大距离;
O A m
k C
x
=37°
解：(能量微分法): 以A,B,C,地球,斜面为系统,机械能守恒。 以原点为势能零点.
m
A Fdx 1 E K mv 2 2
mv
P Fv
A M Z d 1 1 转动动能 E K J 2 2 J 角动量 P M 角功率
2 J m r 转动惯量 ii
功
2
课堂讨论题
1.当两个力作用在一个有固定转轴的刚体上下列说法正确吗? (1)这两个力都平行于轴作用时它们对轴的合力矩一定为零;
A下滑x时:
1 2 1 1 kx mv 2 I 2 mgx sin 0 2 2 2
上式对t求导: kx ( m I R2 )a mg sin 可得: a 2.4 4 x m s2
（2）当 a 0 ; 0 时, A的速率 v vmax dv dv 1 2 a v ; v 2.4 x 2 x 2 dt dx 2 得 vmax 1.2 m s （也可用驻点法求极值得到） 设:A由静止释放沿斜面下滑的最 大距离为 S ,则以A,B,C为系统,其 机械能守恒。
B
R
1 2 ks mgs sin 0 2
s 1.2 m
O A m
k C
x
=37°
3.如图,已知A: m,l,质量均匀,开始时水平静止B:m , , A竖直时 m 被碰,然后滑行距离S。 O
求 :碰后A的质心可达高度h.
A l
思考:几个过程,各有何特点? 解:A由水平下摆至垂直,机械能守恒. 1 2 1 mgl I 1 mgl 以地面为零势点
基本概念和规律
1 .描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式 角位置
角运动方程
角位移 角速度 角加速度
= ( t)
d dt d d 2 2 dt dt
角量与线量的关系
s r
v r
an r 2
at r
2 .力矩和转动惯量 (1)力矩 (2)转动惯量
1 R1 2 R2
设两滑轮边缘相互作用力为大小F,根据角动量定理 1 2 FR d t M R A:对轴O1: 1 2 1 1 (1 10 ) 1 2 FR d t M R B:对轴O2: 2 2 2 2 ( 2 20 )
求解上述方程可得 1和 2 。
M r F
I z dmi ri2
2 I r 当刚体质量连续分布 dm
组合体的转动惯量
I I1 I 2 I 3 ... I i
3 .刚体的定轴转动定律
4. 力矩的功
1 2 1 2 转动动能 E K ( mi v i ) I 2 2 i 刚体定轴转动动能定理 1 2 1 2 2 A M Z d I 2 I1 E K 1 2 2 机械能守恒定律:只有重力做功时
10
A B
20
O1 R1 O2
R2 A
1
O1 R1
B
2
O2
R2
答：在此过程中以两圆柱为系统,对O1或O2的角动量不 守恒. 因为轴1上的力对轴 2力矩不为零;反之亦然。 求解它们的角速度 1和 2 方法如下: 两滑轮边缘线速度相同,所以 对A,B分别用角动量定理 设两滑轮边缘相互作用力为大小F,根据角动量定理
w
O'
答：盘的角速度减小,因为角动量 L=J w不变,但转动惯量J加大了。
J J 0 0
J J0 0
(2)两大小相等,方向相反但不在 同一直线上的力沿盘面同时作用 在盘上,盘的角速度如何变化?
O F F'
答：盘的角速度增大,因为转盘 受到同向的力矩

O'
M与同方向
0