《数学物理方程》教学大纲
（Equations of Mathematical Physics ）
一. 课程编号：040520
二. 课程类型：限选课
学时/学分：40/2.5
适用专业：信息与计算科学专业
先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程、复变函数
三. 课程的性质与任务：
本课程是信息与计算科学专业的一门限选课程。

数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。

通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。

本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，变分法等。

四、教学主要内容及学时分配
（一）典型方程和定解条件的推导（7学时）
一些典型方程的形式, 定解条件的推导。

偏微分方程基本知识、方程的分类与化简、迭加原理与齐次化原理。

（二）分离变量法（7学时）
三类边界条件下的分离变量法, 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法,求解一类非齐次方程的定解问题,非齐次边界条件的处理方法.
（三）积分变换法（8学时）
Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，Fourier变换和Laplace变换的在求解数学物理方程中的应用。

（四）行波法（7学时）
一维波动方程的求解方法，高维波动方程的球面平均法，降维法
（五）格林函数（6学时）
微积分中学中的几个重要公式；调和函数的Green公式和性质；格林函数；格林函数的性质；格林函数的求解方法。

（六）变分法（5学时）
变分法的一些基本概念，泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题
五、教学基本要求
通过教师的教学，使学生达到下列要求
（一）掌握典型方程和定解条件的表达形式，了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题。

掌握偏微分方程的基本概念，掌握关于两个变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简，掌握迭加原理与齐次化原理。

（二）掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤，理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法, 会求解非齐次方程的定解问题,掌握非齐次边界条件的处理方法。

（三）掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义，掌握解决柯西始值问题的行波法。

了解依赖区间、决定区域、特征线、影响区域和决定区域的概念。

掌握三维波动方程的初值问题的径向对称解，了解高维波动方程初值问题的球面平均法和降维法。

（四）掌握Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，会Fourier变换和Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。

（五）掌握Green第一公式和第二公式。

掌握调和函数的Green公式和性质，理解格林函数的基本性质。

会求半空间和球域上的格林函数。

（六）掌握变分法的基本概念，会求解几类典型的变分问题的解。

六、课程内容的重点和深广度要求
教学基本要求中的数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧是本课程的重点，此外，学生对下列各项也应给予注意：
1.线性偏微分方程的分类与化简。

2.固有值问题，关于固有值与固有函数讨论。

3.方程与边界条件同时齐次化的简易方法。

4. Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质。

5. 格林函数的定义和基本性质
6. 泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题。

七、作业、辅导与考试
作业与辅导：作业次数或作业量：每学期约布置20—24次作业，每次平均4题左右。

每周一次课外辅导。

考核方法：平时考核占总成绩30%，期末考试占70%。

八、本课程与后续课程的关系
本课程是继数学分析、线性代数、常微分方程、实变函数与泛函分析、复变函数和普通物理之后的一门专业基础课，它既广泛地应用上述基础课程的基本理论、数学思想、解题方法与技巧，又以新的研究对象，发展了这些基础学科的基本理论，形成研究经典偏微分方程的一系列新的理论和解决问题的方法。

为进一步学习偏微分方程专业课程打下良好的基础。

九、对学生能力培养的要求
学生能够从物理问题中提炼出方程模型，并能用本课程所学方法解决问题。

十、使用教材及主要参考书
[1] 胡学刚等. 数学物理方法.机械工业出版社，1997.
[2] 吴方同编著.数学物理方程.武汉大学出版社，2001.
[3] 谷超豪、李大潜等. 数学物理方程（第二版）. 高等教育出版社，2002.
[4] 姜礼尚等. 数学物理方程讲义（第二版）. 高等教育出版社，1996.
[5] 陈恕行等. 数学物理方程.复旦大学出版社，2003.
[6] 王元明. 工程数学：数学物理方程与特殊函数（第三版）.高等教育出版社，2004.
[7] 王元明. 工程数学：数学物理方程与特殊函数学习指南.高等教育出版社，2004.
[8] 戴嘉尊.数学物理方程.东南大学出版社，2002
[9] Lawrence C Evans. Partial Differential Equations. American Mathematical
Society, Provodence, Rhode Island，1998.
十一、教学方法和教学媒体的使用
采用启发式、提问式等教学方法，辅以板书和多媒体相结合的教学手段。

十二、学习方法与建议
建议学生采取课前阅读，上课时认真听讲，课后多作练习的学习方法。