(a1 , a2 , L , an )T a11 a2 2 L an n
例2 讨论向量组 1, 1, 1T 0, 2, 5T 1, 3, 6T 的线性相关性
解 假设存在 x, y, z，使得
x y z 0
即 ( x z, x 2 y 3z, x 5 y 6z)T (0, 0, 0)T
1
x1 x2 x3 x4 1
x1
5 4
,
x2
1 4
,
x3
1 4
,
x4
1 4
5 4
1
1 4

2
1 4
3
1 4
4
三、小结
１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
a1 x1 a2 x2
an
xn
b
即线：性b方能程用组a1，x1aa12，x，2a2an线性表xna示n
§3.2 向量组的线性相关与 线性无关
一、线性组合的概念
定义１ 给定m 1个n维向量，1,2, ,m， 若存在一组实k1数1k1，kk22，2,km，使km得m向量 称是向量组1，2， ，m的一个线性组合 ， 或称可以由向量组1，2， ，m线性表示
2
1
0
0
0
例如：
5 3
,
1
0 0
因
1，
2，
线性无关，故有
3
x1 x3 0, x1 x2 0,
x2 x3 0.
1 01 由于 1 1 0 2 0
011
故方程组只有零解 x1 x2 x3 0， 所以向量组 b1 , b2 , b3线性无关 .
例5 把向量 (1, 2,1,1)T 表示成向量组1 (1,1,1,1)T 2 (1,1, 1, 1)T 3 (1, 1,1, 1)T 4 (1, 1, 1,1)T 的线性组合
,
2
1 0
,
3
0 1
,
4
0
0
0
0
0
0
1
2 1 0 0 0
有
5
2
0
5
1
3
0
0
0
3 0 0 1 0
0
0
0
0
1
即 =21 5 2 3 3 0 4
所以， 是 1, 2 , 3 ,4 的线性组合， 或 可以由 1, 2 , 3 ,4 线性表示。
1x 0 y 1z 0 1x 2 y 3z 0 1x 5 y 6z 0
容易验证 x=1, y=1, z= -1是上述方程的一组非零解
即存在一组不全为零的数 1，1，－1使
1 1 (1) 0
所以 , , 线性相关
例3 已知向量组1,2 ,3 线性无关, b1 1 2 ,
b 有解.
二、线性相关性的概念
定义2 给定向量组 A :1,2 , ,m ,如果存在不
全为零的数 k1, k2 , , km使
k11 k22
kmm
0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
1. 1,2, ,n线性无关 只有当k1 kn 0时,
才有 k11 k22 knn 0成立 . 2. 对于任一向量组 ,不是线 性无关就是线性相关 .
解 设存在一组数 k1 , k2 ,L , kn ，使得
k11 k2 2 L kn n 0
按照向量的数乘、加法运算可得
(k1 , k2 ,L , kn )T (0, 0, L , 0)T
根据向量相等的定义，即有
k1 k2 L kn 0
所以 1 , 2 ,L , n线性无关
对于任意给定的n维向量 (a1 , a2 , L , an )T
解 设存在四个数 x1 , x2 , x3 , x4 ，使得 x11 x22 x33 x44
1 1 1 1 1
即
2
1
x1
1
1
x2
1
1
x3
1 1
x4
1
1
1
1
1
1
1
解得 所以
x1 x2 x3 x4 1
x1
x2
x3
x4
2
x1
x2
x3
x4
若向量组A线性无关，则向量组B也线性无关。
由于线性方程组的解与方程组中方程的次 序无关，由此我们得到如下命题
命题2 设有两个向量组
A : j (a1 j , a2 j ,L anj )T ( j 1, 2,L m), B : j (ap1 j , ap2 j ,L , apn j )T ( j 1, 2,L m),
3.向量组只包含一个向量 时,若 0则 线性相关, 若 0,则 线性无关.
4.包含零向量的任何向量 组是线性相关的.
5.对于含有两个向量的向 量组,它线性相关的 充要条件是两向量的分 量对应成比例.
线性相关性在线性方程组中的应用 结论向量组A线性相关 齐次线性方程组
x11 x22 xmm 0,即 Ax 0有非零解. 其中A (1,2 , m ), x (x1, x2 , , xm )T ,
0 (0,0, ,0)T
向量组A线性无关 齐次线性方程组
x11 x22 xmm 0只有零解.
显然，如果齐次线性方程只有零解，则对 该方程增加若干方程后仍有零解，由此我们得 到如下命题
命题1 设有两个向量组
A: j (a1 j ,a2 j ,L arj )T ( j 1, 2,L m), B : j (a1 j , a2 j ,L arj , ar1, j ,L anj )T ( j 1, 2,L m),
b2 2 3 , b3 3 1, 试证b1, b2 , b3线性无关.
证 设有x1, x2 , x3使
x1b1 x2b2 x3b3 0
即 x（1 1 2） x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0,
亦即（ x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0,
其中 p1 p2 L pn 是1, 2,L , n这n个自然数的某个确 定的排列，则向量组A与B的线性相关性相同。
例1
证明
12
n
维单位坐标向量组
(1,0, ,0)T (0,1, ,0)T
n(0,0,
,1)T
线表性示无成关1；, 并2将,L任,意nn维的向线量性(组a1合, a2 , L , an )T