1 2 4 0 5 5 0 3 3 0 9 9
1 0 0 0
2 1 0 0
4 1 ， 0 0
r(A) =(a1 a2 am)秩2<3 （向量的个数） ，
所以向量组 a1，a 2，a 3 线性相关。
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例2．判断向量组 A: a1(1, 2, 0, 1)，a 2(1, 3, 0, 1)， a 3(1, 1, 1, 0)是否线性相关。
∴此向量组 线性相关
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判定向量组线性相关与线性无关的步骤：
a11 a12 a 设n个m维向量组 A： a1 ， 2 a 1m
a21 a22 a ， ， n a2m
an1 an2 anm
（1）比较向量组 A的个数n与向量的维数m
①当n＞m时，向量组 A线性相关（如例6）
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
解：
可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关； 同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关．
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推论1：设n个n维向量为 a11 a12 a21 a22 a1 a a ， 2 ， ， n an1 an2
1 0 0 k1 0 若 k1e1 k2 e2 k3 e3 k1 0 k2 1 k3 0 k2 0 0 0 1 k 0 3
＝0，线性相关 （2）当n=m时，计算行列式|A| =| a1 a2 an | ≠0，线性无关 （如例4，例5） ＜ n ，线性相关 （3）当n＜m时，计算r(A)=秩（ a1 a2 an ） ＝ n ，线性无关 （如例1,例2,例3 ）
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②当n≤m时，继续以下步骤
∵系数矩阵的秩(a1 a2 an) ≤min(m,n) =m＜n(未知数个数）
∴齐次线性方程组有非零解。即此向量组 线性相关 例6．判断向量组 a1(1, 4, 3)，a 2(3, 1, 2)，a 3(1, 1, 1)， a 4(-1, 5, 1)，是否线性相关。 解 ：∵向量组的向量个数4 ＞向量的维数3
解：因为
AT=(a1Ta2T
1 1 1 a3T) 2 3 1 0 0 1 1 1 0

1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 2 1
r(AT)=秩(a1Ta2T
1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 ， 0 1 0 0 1 0 3 0 0 0 a3T) 3（向量的个数），
1 0 1 而方程组系数行列式 1 1 0 30， 0 1 1 所以方程组只有零解，从而b1，b2，b3线性无关。
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（三）。关于线性组合与线性相关的定理
1.向量组线性相关与线性无关的一些常用结论： （1）由一个向量a构成的向量组线性相关 由一个向量a构成的向量组线性无关 （2）含有零向量的向量组一定线性相关 （3） n 维单位坐标向量组e1，e2， ，en是线性无关的 （4） n维向量组a1，a2， ，an ， an+1 ，an+r线性相关;
例7．设向量组为 a1(1, 1, 1)，a 2(1 , 2, 3)，a 3(1, 3,t )， a 4(3, 4, 5)
①当t为何值时， a1 ， a2 ， a3 ， 线性相关？线性无关？
1 1 1 1 2 3 1 3 t
②当t为何值时， a1 ， a2 ， a3 ， a 4 ，线性相关？线性无关？
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问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的系数
是否不全为零？
问题2′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在非零解？ 回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数 不一定全等于零．
1 0 0 例：设 E e1 , e2 , e3 0 1 0 0 0 1
1 a3T | 2 3 0 1 2 1 1 =0 1
所以向量组 a1，a 2，a 3 线性相关。
例5． 判断n 维单位坐标向量组e1 (1, 0, ， 0)， e2 (0, 1, ， 0) ， en (0, 0, ， 1)是否线性相关。 解：因为 n阶行列式| e1 T e2 T en T | 1 ≠0 所以n 维单位坐标向量组e1，e2， ，en是线性无关的。
所以此向量组 A:线性无关。
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例3已知
1 0 2 a1 1 , a2 2 , a3 4 , 1 5 7 1 0 2 1 0 2 r 1 2 4 ~ 0 2 2 1 5 7 0 0 0
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解题思路：
转化为齐次线性方程组的问题； 转化为矩阵的秩的问题．
例1．判断向量组 A: a1(1, 2, 1, 5) T，a 2(2, 1, 1, 1) T， a 3(4, 3, 1, 11) T是否线性相关。 解：因为 1 2 4 2 1 3 A= (a1a2 a3) 1 1 1 5 1 11
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推论2：如果向量组的向量个数＞向量的维数，则此向 量组 线性相关 a11 a12 a1n a21 a22 a2n 且 n＞ m 证：设 ， an a 1 a2 ， ， am1 am2 a mn 在齐次线性方程组 x1a1 x2a2 xn an o 中
定理1 列向量组A： a1，a2， ，am线性相关的充分 必要条件是：以x1，x2，，xm为未知量的齐次线性方程组 x1a1 x2a2 xm am o 有非零解。 列向量组线性相关 即：x1a1 x2a2 xm am o有非零解 x1a1 x2a2 xm am o只有零解 列向量组线性无关
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例 8 ． 设 向 量 组 a1 ， a2 ， a3 线 性 无 关 ， b1a1a2 ， b2a2a3，b3a3a1。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。 证明：考虑 x1b1 x2b2x3 b3 o， 即 x1(a1a2) x2(a2a3)x3 (a3a1)o， 整理得 (x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a3o。 因为向量组a1，a2，a3线性无关，所以必有 x1 x2 x3 0 x1 x2 x3 0 ， x1 x2 x3 0
则 k1 = k2 = k3 =0 ．
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（一）、线性相关与线性无关
1。向量组线性相关与线性无关的定义：
定义2向量组 A ：a1，a2， ，am，如果存在一组不全为 零的数k1，k2， ，km，使 k1 a1 k2 a2 kmamo ， 则称向量组 A ：a1，a2， ，am线性相关，否则称它线性无关。 2。齐次线性方程组与向量组线性相关
R( A) R( A, b)
问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表示？ 问题1′：齐次线性方程组 Ax = 0 是否存在解？ 回答：齐次线性方程组 Ax= 0 一定存在解． 事实上，可令k1 = k2 = … = km =0 ，则 k1a1 + k2a2 + … + kmam =0（零向量）
a1n a2n ann
则向量组 A: a1，a2， ，an线性相关
行列式|A| =|a1a2an |
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a 2n a nn
0
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例4．判断向量组 a1(1, 2, 3)，a 2(0, 1, 2)，a 3(1, 1, 1)是 否线性相关。 解：因为 三阶行列式| a1Ta2T
解①因为 三阶行列式| a1Ta2T a3T |
t 5
行列式| a1Ta2T a3T | t 5 0 当a1 ， a2 ， a3 线性相关时，
即当t=5时， a1 ， a2 ， a3 ， 线性相关 行列式| a1Ta2T a3T | t 5 0 当a1 ， a2 ， a3 线性无关时， 即当t≠5时， a1 ， a2 ， a3 ， 线性无关 ② ∵向量组的向量个数4 ＞向量的维数3 ∴无论t为何值时， a1 ， a2 ， a3 ， a 4 ，线性相关
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备注：
给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居 其一．
向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关，通常是指 m ≥2 的情形. 若向量组只包含一个向量：当 a 是零向量时，线性相关； 当 a 不是零向量时，线性无关．
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b = l1a1 + l2a2 + … + lmam
则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．
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引言
问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由 向量组 A 线性表示？
问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表 示，线性组合的系数是否不全为零？
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P.83 定理1 的结论： 向量b 能由 向量组 A 线性表示
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2。齐次线性方程组与向量组线性相关与线性无关的关系： 定理1列向量组A： a1，a2， ，am线性相关的充分 必要条件是：以x1，x2，，xm为未知量的齐次线性方程组 x1a1 x2a2 xm am o -----(Ⅰ) 有非零解。即 列向量组A线性相关 （1）： (Ⅰ)有非零解 （2）： (Ⅰ)只有零解 列向量组A线性无关 定理1′ 行向量组A：a1，a2， ，am线性相关的充分必 要条件是：以x1，x2，，xm为未知量的齐次线性方程组 x1a1T x2a2T xm amT o -----(Ⅱ) 有非零解。即 行向量组A线性相关 （1）： (Ⅱ)有非零解 行向量组A线性无关 （2）： (Ⅱ)只有零解