a11 a21
an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2n
ann
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即
例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1
0
0
0
α1
=
0
,
0
α2
=
1
,
0
α3
=
0 1
,
α4
=
k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0 ...
a1n a2n
故
β
=
(-
l1 l
)α 1
+
(-
l2 l
)α 2
+
+
(-
lm l
)α m
，
即b可由向量组a1，a2， ，am线性表示.
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ，am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表
示式是惟一的.
证明： 再证表示法惟一.
设b可表示成以下两种形式，
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.
2.仅有一个向量构成的向量组线性相关当且仅 当该向量为零向量. 3.仅有两个向量构成的向量组线性相关当且仅当 这两个向量的分量对应成比例. 4.单位向量组e1，e2， ，en线性无关.
7.3 线性相关性判定定理
定理1 向量组a1，a2， ，am线性相关的充要条件是：向量组
判定定理等进行判定，特别当利用定义时可使用观察法.
特殊方法，用于n 个n维向量组的情形. 可通过行列式判定.
一般方法（举例）
例6. 讨论下列向量组的线性相关性.
1
0
2
α1
=
1 1
,
α2
=
2 1
,
α3
=
4 3
1
3
5
解: 对于向量组，显然有
即
α3 = 2α1 + α2 ,
2α1 +1α2 + (-1)α3 = o,
a1n a2n
ann
特殊方法（解题步骤）
①设有一组数k1，k2， ，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立.
(1)
②通过向量的线性运算,将(1)式化为如下齐次方程组
a11 a21
an1 0 a11k1 + a21k2 + + an1kn = 0
k1
a12 ...
充分性. 不妨设a1可由其余向量线性表示,即
a1=l2a2+l3a3+ + lmam， 则存在不全为零的数-1，l2，l3， ， lm，使
(-1)a1+l2a2+l3a3+ + lmam=o ， 即a1，a2， ，am线性相关.
定理2 设向量组 a1，a2， ，am ，b 线性相关，而a1，a2， ， am线性无关，则b 可由a1，a2， ，am线性表示，且表示式是惟
相关.
解题要点：找向量方程的 非零解.
例9．设向量组a1，a2，a3线性无关，令 b1=a1+a2，b2=a2+a3， b3=a3+a1 .试证向量组b1，b2，b3也线性无关. (拆项重组法)
证明：设有一组数k1 ,k2 ,k3 ,使 k1b1+ k2b2+k3 b3 =o，
即
k1(a1+a2)+ k2(a2+a3)+k3 (a3+a1)=o，
例2．任何一个n维向量a=(a1, a2, , an)都是n维向量组
e1=(1, 0, , 0)，e2=(0, 1, , 0)， ，en=(0, 0, , 1)的线性组合.
这是因为a=a1e1+ a2e2+ + an en .
注：向量组 e1，e2， ，en称为 n 维单位（或基本）向量组.
k1
+
2 1
k2
+
1 0
k3
+
-4 -3
k4
=
0 0
.
2 3 1 -7 0
因该方程组的系数行列式
解: 对于向量组a1, a2, a3, a4,设有
一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立
k1α1 + k2α2 + k3α3 + k4α4 = o ,
其中,
a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - = am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
a1 j
a
j
=
a2 j
,
j
= 1, 2,..., n
;
a11
a12
a1n
b1
amj
a21
x1+
a22
x2+ +
a2n
xn =
b2
一的.
证明： 先证明b可由向量组a1，a2， ，am线性表示. 因为向量 组a1，a2，，am，b线性相关，因而存在一组不全为零的数l1， l2，， lm及l，使
l1a1+l2a2+ + lmam+ lb=o ， 这里必有l0，否则，上式成为
l1a1+l2a2+ + lmam=o ， 且l1，l2，，lm不全为零，这与线性无关矛盾.因此l0 .
整理得 (k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=o .
因为向量组a1，a2，a3线性无关，所以必有
k1 + x2 + k3 = 0 k1 + k2 + x3 = 0 ， k1 + k2 + k3 = 0
亦即向量方程只有零 解： k1=k2=k3=0.
101 由于 1 1 0 =20，
即只有当k1=k2=k3=k4=0时，上
式才成立，所以向量组a1, a2, a3, a4,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即方程组
例8. 讨论下列向量组的线性相关性.
1
0
3
2
α1
=
1
1
,
α2
=
2
,
1
α3
=
1
,
0
α4
=
-4
-3
2
3
1
-7
1 0 3 2 0
1 1
0
0
0
0
0
1
证: 对于向量组a1, a2, a3, a4,设有
一组数k1,k2 ,k3,k4,使得下式成立
k1α1 + k2α2 + k3α3 + k4α4 = o ,
k1 0 0 0 k1 0
0 0 0
+
k2 0 0
+
0 k3 0
2.7 向量组的线性相关与线性无关
1.线性组合与线性表示 2.线性相关与线性无关 3.线性相关性判定定理
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ， ，am线性表示.
即存在一组不全为零的数
练习：讨论下列向量组的线性 相关性，其中：
1
0
2
6
α1
=
0
,
α2
=
1
,
α3
=
2 ,
α4
=
6
.
k1 = 2, k2 = 1, k3 = -1,
使得
k1α1 + k2α2 + k3α3 = o, 所以向量组a1, a2, a3,线性相关.
特殊方法（推导）
对于n个n维向量组成的向量组a1，a2， ，an，设有一组数
即 b=(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的线性组合，也就是说b可由 a1，a2 ，a3线性表示.
7.1 线性组合与线性表示 (Linear combination)
定义1 给定n维向量b，a1，a2， ，am，如果存在一组数k1，k2，
，km，使
b=k1a1+k2a2+ + kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的线性组合，或称b可由向量 组a1，a2 ， ，am线性表示.
b =l1a1+l2a2+ + lmam， 及 b=m1a1+m2a2+ + mmam，2-m2)a2+ + (lm-mm)am =o ， 由a1，a2， ，am线性无关可知
l1-m1=l2-m2= =lm-mm=0， 从而 l1=m1，l2=m2， ，lm=mm，
中至少有一个向量可以由其余向量线性表示.