r4
3r3
2
0 0
1 0
2 12
3 =8 0
20 0
1 0
2 3
3 5
r3
r4
0 0 41 63
00 5 3 00 5 3
1 8 1 1 1 8 1 1
1 8 1 1
80
0
1 0
2 2
3 2
=16
0 0
1 0
2 1
3 1
r4
5r3
16
0 0
1 0
2 1
3 1
=128
005 3 005 3
000 8
1 1 1 1
将第n列分别加到前边的第 1,2，…，n-1列.
n 1 n n 1 0 2 2 0 0 2
=
2n 3 n 1 2 1 2 1
000
000
=
2 1 0 1
(-1)n1(n 1)2n2
例5
计算n阶行列式 a1 b b
b
b a2 b
b
Dn b b a3
, b ai , i 1, , n.
x (n 1)a a
aa
x
a
a
x
11
x (n 1)a a x
aa
11
x (n 1)a 0 x a
00
1 a ri ar1
i 2,...,n
x
1
0 x (n 1)a(x a)n1
xa
例4 计算nDn阶 行aij 列式aij i j (i,,其j 中1,2, ,n)
解：由题意得
012 101 210 Dn
n 2 n 1 n3 n2 n4 n3
逐行相减法
n2 n3 n4
01
n 1 n 2 n 3
10
将第n-1行的（-1）倍加至第n行，第n-2行的（-1）倍加至第n-1行，…，第1行的（-1）
倍加至第2行，有
01 2 1 1 1 1 1 1 Dn
11 1 11 1
n-2 n 1 1 1 1 1
加边法
b
bb
b an
解： 用加边法，即构造n+1阶行列式，使其按第一列（行）展开后，等于原行列式
1b b
b
1b
b
b
0 a1 b
b
ri r1 1 a1 b
0
0
Dn 0 b a2
b 1 i2, ,n1
0
a2 b
b
0
0b
b an
1 0
0 an b n1
n
1
b
i1 ai b
b
b
b
c1
ai
1
bci1
a0 b1 b2
bn
例2 计算下c1列a1 行0 列式0
Dn1 c2 0 a2
0 , ai 0,i 1, 2, , n
箭形
解：将第i+1（i=1,2,…,n）列的
a0
n i 1
bi ci ai
cn 0 0
倍c加i 到第1列，得 ai
b1 b2
an
bn
上三角行列 式
0
Dn1
0
a1 0 0 a2
0 0
0
00
an
=
a1a2
an (a0
n i 1
bici ai
)
例3 计算n阶行列式 x a
a
ax
a
加法
aa
x
解：这个行列式的特点是各列（行）的元素之和相等，故可将各行加到第一
行，提出公因子，再化为上三角行列式。
xa ax
a r1 ri x (n 1)a x (n 1)a
a
a
x
i 1,2,...,n
解：按第一行展开，得
等号两端减 ，得
这是一D个n 关 于Dn1 aD的n递1推D公Dn式n1，反a(复aD使n1用1)D递n推(2公a式(，a1得)D1，)n(D2n,1 Dn2 ) Dn1
Dn Dn1
Dn因为Dn1 (a 1)2 (Dn2 Dn3 ) (a 1)n2 (D2 D1)
c ... c b ... b 简记为 t1
， 这里的A,B必须为方阵。
tk
t1
tt
而
AO =A B
CB
O Am (1)mn A B Bn C
b11 ... b1t ... ... bt1 ... btt
n1 总结：当行列式元素排列很有规律且维数(a与n1有)2关2是(aa可以1考)n虑1 递 a推法
a=2
a2
例7 求下列行列式的值 分块三角形法
1 200 0 3 400 0 D1= 2 2 1 5 3 410 2 5 6 8 4 14
21 5
1 2
1 D1
2 ，D2 1
0
34
5
C 3
4
8 4 14
1 8 1 1
1 8 1 1 1 8 1 1
0
2
0
21 8
1 4
0 4
r2 r4
0 0
2 8
46 0
=2
44 0
1 8
2 3 r3 8r2 4 4 r4 19r2
0 19 3 6
0 19 3 6 0 19 3 6
1 8 1 1
1 8 1 1 1 8 1 1
20
0
1 0
2 12
3 20
0 0
a1 b 0 0 a2 b
0
0
0
0
0 an b n1
=
(a1 b)(a2 b)
(an
b)(1
n i 1
b) ai b
例6 计算n阶行列式 a a 1 0 0 1 a a 1 0
00 0 00 0
01 Dn
a a 1
00 0
递推法
00 0 0 00 0 0
1 a a 1 01 a
线代学习小组第4组
例1 计算四阶行列式
5 2 3 5
D=
2 1
5 0
1 3
2 5
2 3 5 4
解 利用行列式的性质，将 D 化为上三角行列式.
5 2
D=
1 2
2 5 0 3
3 1 3 5
5
1
2 5
r1
2r2
2 1
4
2
8 5 0 3
1 1 3 5
1 2 5
r2 r3
2r1 r1
4 r4 _ 2r1
56
解所：以D不，= 妨原DC1令行列DO式2 可=化D1 D2 = 12
为
规律总结：当遇到如下形式的行列式时，
a11 ... a1k
... ...
0
a11 ... a1k
ak1 ... akk
...
...
c11 ... c11 b11 ... b1t
ak1 ... akk
... ... ... ...
所以
D= 2
a 1
a 1 aBiblioteka a2=a1,
D1
a,
D2
D1
(a
1)2
Dn Dn1 (a 1)n2 (D2 D1) (a 1)n
即
Dn Dn1 (a 1)n
从而 Dn Dn1 (a 1)n Dn2 (a 1)n1 (a 1)n a (a 1)2 (a 1)n1 (a 1)n