数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有 2位有效数字。

2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。

3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。

4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =ϕ(x )在有解区间满足 |ϕ’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。

7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。

8. 要使20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ρ(B)<1 。

10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。

13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )的二阶导数不变号，则初始点x 0的选取依据为f(x0)f ”(x0)>0 。

14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。

二、判断题（10×1′）1、 若A 是n 阶非奇异矩阵，则线性方程组AX ＝b 一定可以使用高斯消元法求解。

( × )2、 解非线性方程f (x )=0的牛顿迭代法在单根x *附近是平方收敛的。

( √ )3、 若A 为n 阶方阵，且其元素满足不等式 ),...,2,1( 1n i a a nij j ij ii =≥∑≠=则解线性方程组AX ＝b 的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。

( × ) 4、 样条插值一种分段插值。

( √ ) 5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。

( √ ) 6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。

( √ )7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX ＝b 。

( × )8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。

( × ) 9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。

( √ )10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。

( × ) 三、计算题（5×10′）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。

⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=+-112123454 321321321x x x x x x x x x 解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+--=+-1124 12345321321321x x x x x x x x x L 21=1/5=0.2,l 31=2/5=0.4 方程化为：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--=+-8.152.06.26.1 0.4 2.0123453232321x x x x x x x （-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=--=+-6.1 0.4 2.08.152.06.2123453232321x x x x x x x L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：⎪⎩⎪⎨⎧-==--=+-38466.00.38462 8.152.06.212345332321x x x x x x 回代得：⎪⎩⎪⎨⎧-===00010.1 99999.500005.3321x x x2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P 4(x )，并写出其截断误差的表达式(设f (x )在插值区间上具有直到五阶连续导数)。

解答： 做差商表P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2) R4(x)=f(5)(ξ)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。

解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：雅克比迭代公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+=+-=+-338 4 65 1 2321432431421x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+=-+-=+-65 8 4 3 3 1 2431432321421x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+=-+-=+-65 8 4 3 3 1 2431432321421x x x x x x x x x x x x《计算机数学基础(2)》数值分析试题一、单项选择题(每小题3分，共15分)1. 已知准确值x *与其有t 位有效数字的近似值x ＝0.0a 1a 2…a n ×10s(a 1≠0)的绝对误差∣x *－x ∣≤( )．(A) 0.5×10 s －1－t (B) 0.5×10 s －t (C) 0.5×10s ＋1－t (D) 0.5×10 s ＋t2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )．(A) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------2100121001210012， (B)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2100141101410125 (C) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2100141212410125 (D) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-5131141201411124 3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P (x )=( )(A) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+3210320123x x x x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32103201232x x x x(C) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤-3210320123x x x x (D) ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤+32420123x x x x4. 等距二点的求导公式是( )(A) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f(B) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f (C) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f (D)5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是)(211c p k y y y +=+ 那么y p ,y c 分别为( )．(A) ⎩⎨⎧+=+=+),(),(1k k k c k k k p y x hf y y y x hf y y (B) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y y(C) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=),(),(p k k ck k k p y x f y y y x f y y(D) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k ck k k p y x hf y y y x hf y y二、填空题(每小题3分，共15分)6. 设近似值x 1,x 2满足ε(x 1)=0.05，ε(x 2)=0.005，那么ε(x 1x 2)= ．7. 三次样条函数S (x )满足：S (x )在区间[a ,b ]内二阶连续可导，S (x k )=y k (已知)，k =0,1,2,…,n ，且满足S (x )在每个子区间[x k ,x k +1]上是 ．8. 牛顿－科茨求积公式∑⎰=≈n k k k bax f A x x f 0)(d )(，则∑=nk k A 0＝ .9. 解方程f (x )=0的简单迭代法的迭代函数ϕ(x )满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是预报值：),(1k k k k y x hf y y +=+，校正值：y k +1= ． 三、计算题(每小题15分，共60分)11. 用简单迭代法求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++=+-3612363311420238321321321x x x x x x x x x 的X (3)．取初始值(0,0,0)T，计算过程保留4位小数．12. 已知函数值f (0)=6，f (1)=10，f (3)=46，f (4)=82，f (6)=212，求函数的四阶均差f (0,1,3,4,6)和二阶均差f (4，1，3)．13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分⎰+312d 1x x ，计算过程保留4位小数．14. 用牛顿法求115的近似值，取x =10或11为初始值，计算过程保留4位小数． 四、证明题(本题10分)15. 证明求常微分方程初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 在等距节点a =x 0<x 1<…<x n =b 处的数值解近似值的梯形公式为y (x k +1)≈y k +1=y k +2h[f (x k ,y k )+f (x k +1,y k +1)] 其中h =x k +1－x k (k =0,1,2,…n －1)《计算机数学基础(2)》数值分析试题答案一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空题(每小题3分，共15分)6. 0.05∣x 2∣+0.005∣x 1∣7. 3次多项式8. b －a 9. ∣ϕ'(x )∣≤r <1 10. y k +)],(),([211+++k k k k y x f y x f hhf (x k ＋1, 1+k y ) ． 三、计算题(每小题15分，共60分)11. 写出迭代格式⎪⎩⎪⎨⎧++--=+++-=+-+=+++3025.05.039090.006363.05.225.0375.00)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x xX (0)=(0,0,0)T .⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯-⨯-==+⨯++⨯-==+⨯-⨯+=330025.005.03309090.0006363.05.25.2025.00375.00)1(3)1(2)1(1x x x得到X (1)＝(2.5，3，3)T⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯-⨯-==+⨯++⨯-==+⨯-⨯+=0000.130325.05.25.07363.2339090.005.26363.0875.25.2325.03375.00)2(3)2(2)2(1x x x得到X (2)=(2.875，2.363 7，1.000 0)T⎪⎩⎪⎨⎧=++⨯-⨯-==+⨯++⨯-==+⨯-⨯+=6971.0307363.225.0875.25.06045.2319090.00875.26363.04136.35.2125.07363.2375.00)3(3)3(2)3(1x x x 得到X (3)=(3.136 4，2.045 6，0.971 6)T. 12. 计算均差列给出．f (0,1,3,4,6)=15f (4, 1, 3)=613. f (x )=21x +,h =25.082=．分点x 0=1.0，x 1=1.25，x 2=1.5，x 3=1.75，x 4=2.0，x 5=2.25，x 6=2.50，x 7=2.75，x 8=3.0. 函数值：f (1.0)=1.414 2，f (1.25)=1.600 8，f (1.5)=1.802 8，f (1.75)=2.015 6，f (2.0)=2.236 1，f (2.25)=2.462 2，f (2.50)=2.692 6，f (2.75)=2.926 2，f (3.0)=3.162 3．)()([2d )(8031x f x f hx x f +=⎰))]()()()()()()((27654321x f x f x f x f x f x f x f +++++++ (9分)=225.0×[1.414 2+3.162 3+2×(1.600 8+1.802 8+2.015 6 +2.236 1+2.462 2+2.692 6+2.926 2)]=0.125×(4.576 5+2×15.736 3)=4.506 114. 设x 为所求，即求x 2－115=0的正根．f (x )=x 2－115． 因为f '(x )=2x ，f "(x )=2，f (10)f "(10)=(100－115)×2<0，f (11)f "(11)=(121－115)×2>0取x 0=11． 有迭代公式x k +1=x k －)()(k k x f x f '=kk k k k x x x x x 2115221152+=--(k =0,1,2,…) x 1=112115211⨯+＝10.727 3x 2=3727.10211523727.10⨯+＝10.723 8 x 3=8723.10211528723.10⨯+＝10.723 8x *≈10.723 8四、证明题(本题10分)15. 在子区间[x k +1,x k ]上，对微分方程两边关于x 积分，得y (x k +1)－y (x k )=⎰+1d ))(,(k kx x x x y x f用求积梯形公式，有y (x k +1)－y (x k )=))](,())(,([211+++k k k k x y x f x y x f h将y (x k ),y (x k +1)用y k ,y k +1替代，得到y (x k +1)≈y k +1=y k +2h[f (x k ,y k )+f (x k +1,y k +1)](k =0,1,2,…,n －1)数值分析期末试题一、填空题（20102=⨯分）（1)设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=283012251A ，则=∞A ______13_______。