展开后可简写为：
a 2 b c 0
求得特征值为： 1, 2
b b 2 4ac j 2a
1 2
t t 状态变量解为： x1 c1e c2 e x2 c11e t c2 2 e t 特征值反映振荡模式
1 2
e j t et cos t j sin t
线性化时域响应
u
1
输入信号为一脉冲函数， 其幅值为1(标幺值)，持续 时间为三个计算(积分)步 长。
3t
0
t
t 可用线性化时域响应来评 价系统的小干扰稳定性。
线性化频域响应
在正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应。 输出的稳态响应和正弦输入信号之比G(j)称为频率特性：


2 2
y
ymax
ymin=4%ymax
t 若稳定曲线幅值由ymax衰减到4%ymin共振荡m次， 则阻尼比

1 2m
如上图m=4， =0.125
时域/频域响应计算输入选择
一个作业仅允许一个输入变量。
输入/输出变量信息
地点 模型 变量类型
时域/频域响应计算模型名称列表
模型名称 Gen-0 Gen-1 Gen-2 Gen-3 Gen-4 Gen-5 Gen-6 AVR-1 AVR-2 PSS GOV Motor HVDC SVC-1 SVC-2 Shifter Static Char. Network UD模型号 模型编号 0 1 2 3 4 5 6 1101 1102 3101 2101 6102 6201 6140 6141 6117 6101 -1 UD模型号 说 明 发电机0型：E ' 恒定 发电机1型：Eq' 恒定 发电机2型：Eq' 变化 发电机3型：Eq''、Ed''、Eq' 变化 发电机4型：E'' 恒定 发电机5型：Eq'、Ed' 变化 发电机6型：Eq''、Ed''、Eq'、Ed' 变化 1型励磁调节器 2型励磁调节器 1型PSS 1型调速器 感应电动机 直流输电 1型静止无功补偿器 2型静止无功补偿器 移相器 负荷静特性 网络变量Vn 其它模型模型名称为其UD模型号(四位数)
G j X jY

—
Vto

Vt
Kr 1 STr
量测环节
V R
Vs

E fd 0
V A max
E fd m ax
—
Ka 1 STa V A
VF
放大环节
V A min
1 1 STe
E fd E fd m in
励磁机
SKf 1 STf
v1' ' v2 1 ' Z U X V X X ' v n
相关因子的定义及其物理含义
相关因子pki为量度第k个状态量xk与第i个特征根 i相关 性的物理量：
vki u ki pki T v i ui
相关因子pki可强烈反映何机状态量与何振荡模式强相 关。实际应用中， pki对于PSS装设地点选择有很大的 指导意义。
用小干扰稳定性分析方法研究 低频振荡的优越性
系统中各振荡模式的稳定性由其对应的特征值决定； 各振荡模式之间以及振荡模式与系统变量或参数间的 关系由特征向量给出； 其他有用信息：相关因子、相关比、留数等。
小干扰稳定性分析--面临的问题
新型元件、新型自动调节控制装置不断投入运行，如 何模拟这些元件的动态特性？ 电网规模的不断扩大，传统的QR法面临“维数灾”问 题。
反馈环节
1型励磁调节器框图
0
K q1 K q2 K q3
—
V s max
+

Pe Pe 0 Vt Vt 0

—
K S 1 STq
1 ST1e 1 ST2e
1 ST3e 1 ST4e
Vs min
Vs
Vt Vs Eq’ Te
P
-Vt
Efd

PSS的传递函数框图
PSASP小干扰稳定分析程序的主要功能
计算静态功角稳定性，求取非周期失步的静态功角稳 定极限； 计算静态电压稳定性，求取非周期电压失稳的静态电 压稳定极限； 计算互联系统因阻尼不足造成的低频振荡和增加阻尼 的技术措施； 计算交/直流并列运行系统的小干扰稳定性和采用直流 调制增加阻尼的措施； 计算输电线因串联电容补偿产生的次同步谐振(SSR)； 计算分析各种FACTS装置和控制系统对系统小干扰稳定 性的影响。
PSASP小干扰稳定分析程序 （PSASP/SST）
自定义模型线性化方法，该方法自动对各种功能框、 输入输出变量公式进行线性化，并根据UD模型中功能 框间的关联关系自动形成每个自定义模型的状态方程 和输出方程。 实现了求解矩阵特征值的三种算法：QR法、逆迭代 /Rayleigh商迭代法和同时迭代法，后两种算法与稀疏 矩阵技术相结合，使程序可以应用于大型电力系统的 小干扰稳定性分析计算。
利用电力系统稀疏性的特征值求解方法
系统状态矩阵A不具有稀疏性
J A X 0 JC J B X X J J D Y Y
1
J J J J X AX X A B D C
A X X
A称为状态矩阵
对状态矩阵A进行特征值分析，设其特征根为1, 2, …, n , 相应的特征向量为u1, u2, …, un 。
Aui i ui
特征根 i =ii反映了振荡的频率和衰减性能，物 理上把一对共轭特征根称为一个振荡模式，其相应的 特征向量称为振荡模态。
PSASP小干扰稳定计算程序
小干扰稳定性
小干扰稳定性定义 电力系统小干扰稳定性是指系统受到小干扰后， 不发生自发振荡或非周期性失步，自动恢复到起始运 行状态的能力。系统小干扰稳定性取决于系统的固有 特性，与干扰的大小无关。
概述
电力系统包含许多机电振荡模式，其频率通常为 0.1~2.0 Hz，所以常称为低频振荡 区域间振荡模式(0.1~1Hz) 区域内振荡模式(1~2Hz)
小干扰稳定性分析--基本原理
系统的动态特性由一组非线性微分方程组描述：
dxi f i x1 , x2 ,..., xn , dt i 1,2,..., n
将其在运行点附近线性化：
n dxi f i x j , dt j 1 x j
i 1,2,..., n
写成矩阵形式：
PSASP小干扰稳定程序的特点
提供了三种计算特征值的方法，特别是采用了 两种有效的稀疏算法，计算不受系统规模的限 制 可考虑任意模型(包括UD模型)，如各种调节系 统、感应电动机等 与暂稳公用一套计算数据，不需额外准备数据； 可方便地与暂稳计算彼此检验 线性化时域响应和频域响应的分析方法 提供了多种方便实用的结果分析手段
PSASP小干扰稳定计算过程
潮流结果 公用数据及模型库
初值计算
网络线性化
系统元件线性化
增广系统状态矩阵 J
系统状态矩阵 A
QR 法
用基于稀疏性的 方法求解系统特 征值
线性化 时域/频域响应
PSASP小干扰稳定计算流程
文本方式 图形方式
数据录入和编辑
文本方式 图形方式
电网基础数据库 各种计算公共部分 小干扰稳定计算 计算作业的定义 （暂稳作业、计算 方法、计算功能 等）
机电回路相关比的定义及其物理含义
特征值i的机电回路相关比i定义为：
i
xk ω δ xk ω δ
p p
ki
ki
机电回路相关比i反映了特征值i与变量、的相 关程度。若对于某个特征值i，有
i 1 i i j i i j 2f i f i (0.2 ~ 2.5)Hz
G j A e j
其中，A() 称为幅频特性；() 称为相频特性。PSASP采用对 数幅值表达式 10 lg|G(j)| = 10 lg|A()|表示幅频特性，单位为分 贝(dB)。
在G(j)平面上，以横坐标表示X()，纵坐标表示Y()，绘制 的频率特性图称为乃奎斯特图，又称为极坐标图。
弱阻尼低频振荡对系统的影响
功角摇摆 电压摇摆 功率摇摆 深入研究低频振荡问题对于电力系统的安全运行有着 重大的现实意义。
传统研究方法及其不足
传统研究方法：用非线性时域仿真分析低频振荡问题 需要较长时间的仿真 仿真结果不能提供关于低频振荡产生原因以及如何抑 制低频振荡的相关信息
则认为i为低频振荡模式，即机电模式。
阻尼比(阻尼系数)的定义及其物理含义
特征值 i= ij i阻尼比(阻尼系数)i定义为：
i
i
i2 i2
当i0.1时表明系统阻尼较强； 当i<0.03时表明系统阻尼较弱； 当i0时表明系统阻尼变负，将会出现增幅振荡。 系统阻尼强弱可由若干个主导振荡模式的阻尼比来 判别。
——衰减性能； ——振荡频率。 <0 系统稳定 >0(b2-4ac<0) 减幅振荡稳定 =0(b2-4ac0) 单调衰减稳定 >0 系统失稳 >0增幅振荡失稳 =0单调失稳 =0 临界稳定状态(等幅振荡)
PSASP的特征值分布图
右特征向量(模态)的物理含义
x1 x X 2 c1u1e 1t c2 u2 e 2t cn un e nt xn u11 u12 u1n u u u c1 21 e 1t c2 22 e 2t cn 2 n e nt u u n1 n2 u nn