2 n 1 2 n 1 σ τ σ (1) σ (2) σ (n) τ (1) τ (2) τ (n) τ (2) τ (n) 1 2 n τ (1) σ (τ (1)) σ (τ (2)) σ (τ (n)) τ (1) τ (2) τ (n) 1 2 n σ (τ (1)) σ (τ (2)) σ (τ (n))
• 说明分解不唯一
• 定理13.11：任意一个置换可分解成对换 的乘积, 这种分解是不唯一的, 但是这些 对换的个数是奇数个还是偶数个却完全 由置换本身确定。 • 对一个置换，它可能有不同的对换乘积， 但它们的对换个数的奇偶性则是一致的。 • 定义 13.8 ：一个置换的对换分解式中 , 对换因子的个数是偶数时称该置换为 偶 置换,否则, 称它为奇置换。
§2 变换群、置换群与循环群
• 例 13.8: 证明不等边长方形所有对称的集 合, 关于其合成构成群。 • B4={e,,,},[B4;]是4元素群,称为Klein 四元群。
一、变换群
• • • • • •பைடு நூலகம்• •
变换:非空集合S到S的一个映射, 当映射是一一对应时, 称为一一变换。
SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, SS={f|f:SS}， [SS;]是半群。是拟群。不是群 T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 T(S)={f|fSS,且f为一一对应} [T(S);]是群
• 定义13.7:设|S|=n, Sn, 形如:
i1 i2 id 1 id id 1 in i i i i i i d 1 d 1 n 2 3
其中2≤d≤n。这种形式的置换叫做循环置换 , 称其循环长度为d。上述可写为=(i1,…, id)，其中在变换下的象是自身的元素就不 再写出。 • 特别, 当 d=2时称为对换。
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1.彭姝 Email:pengshu@ 实验室: 软件楼310 2. 顾俊 Email:gujun@ 实验室：软件楼310 3.赵一鸣 BBS: zhym Email: zhym@ 每周三交作业
• S上的置换Sn,习惯上写成

2 n 1 ( 1 ) ( 2 ) ( n )
这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2, ,n次序无关，即
i2 in 2 n i1 1 (1) ( 2) ( n ) (i ) (i ) (i ) 1 2 n
σ1
• • • • •
n次对称群Sn是有限群,问|Sn|=? S上的一一变换个数有多少? S上的一一变换个数是n!,即|Sn|=n!。 下面以三次对称群S3为例， 考察群运算。
2 n 1 一般地对 , 于σ , σ (1) σ (2) σ (n) 2 n 1 τ ,有 τ (1) τ (2) τ (n)
• 定理13.10:Sn中的任一个置换均可分解为 不含公共元的若干个循环置换的乘积。 • 证明:对n作归纳 n=1,成立 假设当|S|n-1,结论成立(n>1) 当|S|=n,任取Sn中的置换 由元素1出发取上的循环置换 • 推论 13.1: 任意一个置换可以分解为若干 个对换的乘积。
1 2 3 4 5 6 7 8 σ 3 6 4 1 8 2 5 7 (1 3)(3 4)(2 6)(5 8)(8 7) (1 4)(3 1)(2 6)(5 7)(8 5) (1,4)(1,2) (2,3)(2,6) (6,1)(5,8) (8,7)
• 推论13.3：每个偶置换均可分解为若干个 长度为 3 的循环置换的乘积, 循环置换中 可以含有公共元。 • 证明:对任两个对换: • (a,b)(c,d) • (a,b)(b,c)
推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算 下,其奇偶性由下表给出: 偶置换 奇置换 偶置换 偶置换 奇置换 奇置换 奇置换 偶置换 • 恒等置换看作为偶置换 • Sn= On∪An • On∩An= • 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换， 是 An 上 的运算 • [An;]是代数系统。
1 恒等置换e 1
1 σ的逆置换σ
2 2

n n
σ(n) σ ( 1 ) σ ( 2 ) 1 2 n 但习惯上重新整理按 — 1n 重 排 ， 即 2 n 1 σ1( 1 ) σ1( 2 ) 1 σ ( n )
• 定义13.5:设GT(S),当[G;]为群时,就称 该群为变换群,其中为一一变换的合成 (复合)运算,并称为变换的乘法。 • 定理13.9:[T(S);]是一个变换群。 • 变换群不一定是交换群
二、置换群
• 定义 13.6: 设 S,|S|<+,S 上的一个一一 变换称为置换。S上的某些置换关于乘法 运算构成群时, 就称为置换群。 • 若 |S|=n, 设 S={1,2,,n}, 其置换全体组成 的集合表示为Sn; • [Sn;]是一个置换群, n次对称群。
• • • • • •
长度为k的循环置换 (i1 i2 …ik)=(i1 i2)(i2 i3)…(ik-2 ik-1)(ik-1 ik) 共k-1个对换 所以当k是奇数时，该循环为偶置换 当k是偶数时，该循环为奇置换 推论13.2：一个长度为 k的循环置换, 当k为奇数时, 它是一个偶置换; 当k为 偶数时, 它是一个奇置换。