微积分II （甲）多元函数积分学练习题解答１.计算二重积分22d D x yσ⎰⎰，其中D 是由1,,2y x y x x ===所围成的闭区域． 解：222121x xDx xyd dx dy y σ=⎰⎰⎰⎰ ()231124x x dx =-=⎰ ２.计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．解：202yy Dxyd dy xydx σ=⎰⎰⎰⎰2234003338322y dy y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰ ３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,计算10dy ⎰.解：21021)9x I dx ==⎰⎰４．计算二重积分2,{(,)Dy xd D x y x σ-=≤⎰⎰ 解： 12D D D =⋃（1D 是所有阴影部分面积）12222DD D y x d y x d y x d σσσ-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()2211222101x xdx x y dy dx y x dy --=-+-⎰⎰⎰⎰11424111146(22)2215x dx x x dx --=+-+=⎰⎰． ５.用极坐标计算Dσ⎰⎰，其中D 为{22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．解：32233220cos cos =cos cos =4DDDr r rdrd r drd d r dr d r dr ππσθθθθθθθθ=⋅⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰６. 设D 为闭区域22{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．2解：Ｉ＝2sin 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰．７. 设D 为闭区域22{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．解：Ｉ＝2cos 402(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰．8. 利用二重积分计算由曲面22z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 解 设所求体积为V ，则有=V ()221Dxy d σ--⎰⎰，其中 (){}22,1D x y xy =+≤，于是=V ()()22211D Dxy d r rdrd σθ--=-⎰⎰⎰⎰=()212012d r rdr ππθ-=⎰⎰.9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+622所围立体的体积． 解 设所求体积为V ，则有=V ()⎰⎰--Dd y xσ226，其中 (){}x y x y x D -≤≤≤≤=10,10,，于是=V ()⎰⎰--Dd y xσ226=()112206x dx xy dy ---⎰⎰()1323011766136x x x x dx ⎡⎤=--+--=⎢⎥⎣⎦⎰10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心． 解 设该薄板所在区域为D ，则 该均质薄板的面积为 0sin 2S xdx π==⎰，又有 sin 00x Dxd dx xdy πσπ==⎰⎰⎰⎰， 及sin 04x Dyd dx y dy ππσ==⎰⎰⎰⎰，由均质平面薄片的质量中心公式可得所求质量中心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛8,2ππ．二、三重积分11. 求xydV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．解xydV Ω⎰⎰⎰111x dx dy xydz -=⎰⎰⎰=1100x dx xydy -⎰⎰()120111224x x dx =-=⎰． 12. 求()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体．解 ()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311()111300011x x y dx dy dz x y z ---=+++⎰⎰⎰ =()1121318821x dx x dy x y -⎡⎤-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦⎰⎰()1013115ln 2218828x dx x ⎡⎤⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦⎰． 13．计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成． 解 Ω在z xoy =平面上的投影区域为22{(,)1}x y x y +≤ 可用柱面坐标计算：221211122200012401224(1).21r r d r dr zdz r dr z r r dr πθπππΩ⎛⎫== ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 14. 计算,⎰⎰⎰ΩzdV 其中Ω是由球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域．解 球面4222=++z y x 与抛物面z y x 322=+的交线为2222243x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩ 从中解得两曲面交线为,1=z 223x y +=，Ω在xOy 面上的投影区域为:D ,30≤≤r πθ20≤≤，利用柱面坐标，对投影区域D 内任一点),,(θr 有2243r z r -≤≤， 所以I 23r DzdV rdrd θΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2203r d zdz πθ=⋅⎰⎰⎰π413=． 15．计算()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是球体1222≤++z y x ．解()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=++θϕρϕρd d d dV z y xsin 42222140004sin 5d d d ππθϕϕρρπ==⎰⎰⎰16. 计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．解 在球面坐标系中, :Ω,20a r ≤≤,40πϕ≤≤πθ20≤≤，故所求体积V ⎰⎰⎰Ω=dV 224sin d d d ππθϕρϕρ=⎰⎰⎰340)2sin 3d ππϕϕ=⋅⎰.)12(343a -=π 17．求由曲面)0(2222>=++a az z y x 及222z y x =+（含有z 轴部分）所围成空间的体积．解 在球面坐标下计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕρϕρd d d dV V sin 222cos 24sin a d d d ππϕθϕϕρρ=⎰⎰⎰3334082cos sin 3a d a ππϕϕϕπ==⎰．18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )， 求Ω的质量m ．解 据题意得，密度函数为,),,(22y x K z y x +=ρ所以.),,(22⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+==dV y x K dV z y x m ρ利用柱面坐标，先对z 积分，Ω在xOy 平面上投影域D 为},1),({22≤+=y x y x D故222212122001()r Dr m Kr rdrd dz K r drd dzK d r dr dzπθθθ-Ω-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1220162(1)15KK r r dr ππ=+=⎰． 三、曲线积分19． 计算⎰Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2x y = 围成的区域的整个边界。

解 设Γ=»OA OA+，交点为O )0,0(和A )1,1(， 直线段OA 的方程：x y =，[0,1]x ∈OA xdl =⎰1⎰=1222x =22曲线段»OA的方程：2y x =，[0,1]x ∈ »OA xdl ⎰＝1⎰=1032)41(3281x +⋅=)155(121-⎰Γxdl =⎰OAxdl +»OAxdl ⎰＝22+)155(121-. 20.计算(),x y dl Γ+⎰Γ是曲线22x t y t z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩上从点()1,2,1到点()2,4,4的一段曲线.xoyA解：由于曲线段为22x t y t z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，[1,2]t ∈，因此22112322211()(23133(54).44x y dl t t t Γ+=+===+=⎰⎰⎰⎰ 21.求(),222dl z y x ⎰Γ++其中Γ是圆周⎩⎨⎧=++=++02222z y x a z y x .解()22222322llxy z dl a dl a a a ππ++==⨯=⎰⎰.22.计算(),dy x y xydx ⎰Γ-+L 是抛物线2x y =上从点()0,0到点()1,1的一段弧.解 Γ的参数方程为2,x xy x=⎧⎨=⎩，起点0,x =终点1,x = 于是()()12220()xydx y x dy x x dx x x d x Γ+-=⋅+-⎰⎰()13202x x x x dx ⎡⎤=+-⋅⎣⎦⎰()132013212x x dx =-=⎰.23. 计算,2dx y ⎰Γ其中Γ为半径为a ，圆心在原点，按顺时针方向绕行的上半圆周.解 Γ的参数方程为cos sin x a y a θθ=⎧⎨=⎩，起点,θπ=终点0,θ= 则()022232sin cos sin cos y dx a d a a d ππθθθθΓ==-⎰⎰⎰ ()32341cos cos 3ad a πθθ=--=⎰. 24.设3223,F x i zy j x yk =+-u r r r r计算,F dl Γ⋅⎰u r r 其中Γ是从点()()0,0,01,2,3B A 到的直线段AB .解 直线段AB 的方程为123z y x == 化为参数方程得10,,2,3≤≤===t t z t y t x ，从而 F dl Γ⋅=⎰u r r ()()()0322322133332232x dx zy dy x ydz t t t t t dt Γ⎡⎤+-=⨯+⨯⨯-⎣⎦⎰⎰48787013-==⎰dt t . 25．设一个质点在(,)M x y 处受到力F u r 的作用,F u r的大小与M 到原点O 的距离成正比(比例系数为k ),F u r 的方向恒指向原点.此质点由点(,0)A a 沿椭圆12222=+by a x 按逆时针方向移动到点(0,)B b ,求力F 所作的功W .解 椭圆的参数方程为t b y t a x sin ,cos ==，t 从0变到2π. r OM xi y j →==+r r r , ||()()||rF k r k xi y j r =⋅⋅-=-+ru r r r r r ,其中0k >是比例常数.于是 =--=⎰ABkydy kxdx W ⎰+-ABydy xdx k2220(cos sin sin cos )ka t tb t t dt π=--+⎰222220()sin cos ()2k k a b t tdt a b π=-=-⎰. 26.利用格林公式计算⎰Γ++-dy y x dx x y )3()( ，其中Γ：9)4()1(22=-+-y x ，取逆时针方向．解 本题中y x Q x y P +=-=3,，则3=∂∂xQ，1=∂∂y P ， 由格林公式，原式=(31)18Ddxdy π-=⎰⎰27.利用格林公式计算2,xydx y dy Γ+⎰Ñ ，其中Γ是顶点为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)的正方形，取逆时针方向． 解 本题中2,P xy Q y ==，则0Qx∂=∂，P x y ∂=∂，由格林公式，原式=11001.2Dxdxdy xdx dy -=-=-⎰⎰⎰⎰ 28 计算曲线积分()(2)y x I e x dx xe y dy G=++-ò， 其中Γ为从起点O )0,0(出发经点A (1,0)到达终点B )2,1(的圆弧段.解 令 x e P y +=，y xe Q y2-=，则y e xQ=∂∂，y e y P =∂∂ ， 由此得I 与路径无关，不妨取积分路径为AB OA +，则=I ⎰+OA Qdy Pdx +⎰+ABQdy Pdx=1200(1)(2)yx dx e y dy ++-⎰⎰=272-e ． 29.利用格林公式，计算下列曲线积分()()dy m y e dx my y ex x-+-⎰Γcos sin ，其中Γ是从)0,(a A 沿 上半圆周)0(222>=+a ax y x 到原点)0,0(O解 添加直线段OA ，方向取x 轴的正向，它与Γ围成的区域记为D ，令m y e Q my y e P x x -=-=cos ,sin ，则m yPx Q =∂∂-∂∂， 在区域D 上满足格林公式，应用格林公式得到()()dy m y e dx my y ex x-+-⎰Γcos sin()()dy m y e dx my y ex OAx-+-=⎰+Γcos sin()()dy m y e dx my y ex OAx-+--⎰cos sin ，其中()()=-+-⎰+Γdy m y e dx my y e xOA xcos sin 82a m d y P x Q D πσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰，()()0cos sin =-+-⎰dy m y e dx my y ex OAx，从而()()8cos sin 2a m dy m y e dx my y e xxπ=-+-⎰Γ． 30.证明()(2)yye x dx xe y dy ++-0=为全微分方程，并求其通解．解 令y P e x =+，2yQ xe y =-，易得y P Q e y x∂∂==∂∂ 在xOy 面内处处成立，所以该方程为全微分方程． 不妨取)0,0(),(00=y x ，得到方程左边的一个原函数为00(,)(,)(,)()(2)x y y y x y u x y e x dx xe y dy =++-⎰(,)(0,0)()(2)x y y y e x dx xe y dy =++-⎰ (,0)(0,0)x =+⎰(,)(,0)()(2)x y y y x e x dx xe y dy ++-⎰(,0)(0,0)()x y e x dx =++⎰(,)(,0)(2)x y y x xe y dy -⎰()x e x dx =++⎰(2)yy xe y dy -⎰22(1)2y x x x e y =++--222y x xe y =+- 从而所求通解为c y xe x y +-+222． （或用凑微分法求通解，注意到=du ()(2)y y e x dx xe y dy ++-2y y e dx xdx xe dy ydy =++-()2y y e dx xe dy xdx ydy =++-221()()()2y d xe d x d y =+-221()2y d xe x y c =+-+，所以所求通解为c y xe x y +-+222．） 31. 计算,1dS z S⎰⎰ 其中S 是球面2222a z y x =++被平面()a h h z <<=0所截出的顶部．解 S 的方程为 222y x a z --=，S 在xoy 平面上的投影区域为(){}2222,h a y x y x D xy -≤+=，且 dxdy yx a a dxdy y z x z dS 222221--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=， 则dxdy yx a a dS z xy D S ⎰⎰⎰⎰--=2221， 利用极坐标得222222001xyS D ar r dS drd a d dr z a r a r πθθ==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()2212ln 2ln2aa a r a hππ⎡=--=⎢⎣． 32计算(),22dS y xS⎰⎰+其中S 是锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的整个区域边界．解 设21S S S +=，其中 ()11:221≤+=y xz S ，,dS dxdy = (){}1,22≤+=y x y x D xy ，()10:222≤≤+=z y x z S ，,2dxdy ds =(){}1,22≤+=y x y x D xy ，则()=+⎰⎰dS y xS 122()21223002xyD x y dxdy d r dr ππθ+==⎰⎰⎰⎰，()=+⎰⎰dS y xS 222(2122302xyD x y d r dr πθ+==⎰⎰⎰， 最后()=+⎰⎰dS y xS22()++⎰⎰dS y xS 122()π221222+=+⎰⎰dS y xS ． 33. 求⎰⎰SzdS ，其中S 是抛物面()()221012z x y z =+≤≤的一部分．解 S 在xoy 平面上的投影区域为(){}2,22≤+=y x y x D xy ，它的方程为：()2221y x z +=，()xy D y x ∈,dS ==则⎰⎰SzdS (2212xyD x y =+⎰⎰202d r πθ=⎰⎰()361152+=π34．计算球面2222a z y x =++介于平面0=z 和()a h h z <<=0,之间的部分的面积．解 球面2222a z y x =++介于平面0=z 和()a h h z <<=0,之间的部分在xoy 平面上投影区域为(){}22222,ay x h a y x D xy ≤+≤-=由曲面面积公式得所求面积为 σσd y x a a d y z x z S xyxyD D ⎰⎰⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=222221202a d ah pqp ==蝌．35 计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是2221x y z ++=在第一卦限的外侧． 解 S 在xoy 平面上的投影区域为(){}22,1,0,0xy D x y xy x y =+≤≥≥:S z =则⎰⎰S xyzdxdyxyD =⎰⎰12cos d r dr πθθθ=⎰⎰115=． 36.2Syzdzdx dxdy +⎰⎰，其中S 是上半球面2224x y z ++=的外侧．解 由题意，S 的单位法向量为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++++++=222222222,,z y x z z y x y z y x x n ρ， S 在xoy 平面上的投影区域为(){}4,22≤+=y x y x D xy ， S 的方程为：()xy D y x y x z ∈--=,,422，2Syzdzdx dxdy +⎰⎰ds z y x z z y x y yz S⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⨯+++⨯=⎰⎰2222222 dxdy y x y y x x yx zy x y xyD 22222222222244142--+--+--+++=⎰⎰()222232022sin 84812.xyxyxyD D D y dxdy y dxdy dxdyd r dr πθθππππ=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰37. 利用高斯公式计算曲面积分xdydz z y dxdy y x S)()(-+-⎰⎰, 其中S 为柱面221x y +=及平面0,3z z ==所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧.解 这里(),0,P y z x Q R x y =-==- ，z y x P -=∂∂, 0=∂∂y Q , 0=∂∂zR由高斯公式得dydz z y dxdy y x S)()(-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ-=-=dz rdrd z r dV z y θθ)sin ()(2139(sin )2d rdr r z dz ππθθ=-=-⎰⎰⎰. 38.计算曲面积分dS z y x S)cos cos cos (222γβα++⎰⎰, 其中S 为锥面222x y z +=介于平面0z =及(0)z h h =>之间的部分的下侧,cos α、cos β、cos γ是S 上点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.解一222222(cos cos cos )SSxy z dS x dydz y dzdx z dxdy αβγ++=++⎰⎰⎰⎰，根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,220Sx dydz y dzdx +=⎰⎰，则22222242330()=.2SSDhDx dydz y dzdx z dxdy z dxdy xy dxdyh r drd d r dr ππθθ++==-+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 解二 设1S 为222()z h x y z =+≤的上侧，则S 与1S 一起构成一个闭曲面，记它们围成的空间闭区域为Ω，由高斯公式得⎰⎰⎰⎰⎰Ω+++=++dv z y x dS z y x S S )(2)cos cos cos (1222γβα， 根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, 0)(=+⎰⎰⎰Ωdv y x ，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ++=++zdv dv y x dv z y x )()(20h hrzdv d rdr zdz πθΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2340112()24h h r r dr h ππ=-=⎰， 而42222222211)cos cos cos (h dxdy h dS z dS z y x h y x S S πγβα===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+, 因此4442222121)cos cos cos (h h h dS z y x Sπππγβα-=-=++⎰⎰.。