热点14 尺规作图【命题趋势】尺规作图也是中考数学中一个必考的小知识点。

它虽然在中考中占的比重不大。

题目数量一般就一至两个题，可能为选择题或填空题，也可能是作图题，难度一般。

因此我们更要拿好拿稳这几分。

【满分技巧】一、重点把握五种基本作图：1．过直线外一点作已知直线的平行线；2．过直线外或直线上一点作已知直线的垂线；3．作已知线段的垂直平分线；4．作已知角的角平分线；5．作一个角等于已知角；二、多想一想作图的基本依据和原理每一个作图我们都要知其然，更要知其所以然，也就是我们要弄明白作图的原理是什么。

这样我们才能真正理解这些知识之间的联系。

比如，作线段的垂直平分线、角的平分线、作一个角等于已知角其依据都是三角形的全等，只是判定全等的方法略有不同而已。

【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题»PQ，1. (2019 北京市) 已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作»PQ于点M，N；（3）连接OM，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A.∠COM=∠CODB.若OM=MN，则∠AOB=20°C.MN∥CDD.MN=3CD【答案】D【解析】连接ON ，由作图可知△COM≌△DON. 由△COM≌△DON.，可得∠COM=∠COD，故A 正确.若OM=MN ，则△OMN 为等边三角形，由全等可知∠COM=∠COD=∠DON=20°，故B 正确C.由题意，OC=OD ，∴∠OCD=180°-∠CO D2 .设OC 与OD 与MN 分别交于R ，S ，易证△MOR≌△NOS，则OR=OS ，∴∠ORS=180°-∠COD2，∴∠OCD=∠ORS.∴MN∥CD，故C 正确.D.由题意，易证MC=CD=DN ，∴MC+CD+DN=3CD.∵两点之间线段最短.∴MN＜MC+CD+DN=3CD ，故选D 2. (2019 河北省)根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C 选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心． 故选：C ．3. (2019 湖北省宜昌市)通过如下尺规作图，能确定点D 是BC 边中点的是（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知：选项A符合条件，故选：A．4. (2019 湖南省长沙市)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）A．20°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】在△ABC中，∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，由作图可知MN为AB的中垂线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝30°，故选：B．5. (2019 吉林省长春市)如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC ＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，∴∠B＝∠BCD，∴DB＝DC，∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，故选：B．6. (2019 山东省东营市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF．若AC＝3，CG＝2，则CF的长为（）A．B．3 C．2 D．【答案】A【解析】由作法得GF垂直平分BC，∴FB＝FC，CG＝BG＝2，FG⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴FG∥AC，∴BF＝CF，∴CF为斜边AB上的中线，∵AB＝＝5，∴CF＝AB＝．故选：A．7. (2019 山东省潍坊市)如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中错误的是（）A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MD C．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED＝CD•OE 【答案】C【解析】由作图步骤可得：OE是∠AOB的角平分线，∴∠CEO＝∠DEO，CM＝MD，S四边形OCED＝CD•OE，但不能得出∠OCD ＝∠ECD ， 故选：C ．8. (2019 山东省烟台市)已知∠AOB ＝60°，以O 为圆心，以任意长为半径作弧，交OA 、OB 于点M 、N ，分别以点M 、N 为圆心，以大于12MN 的长度为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点P ，以OP 为边作∠POC ＝15°，则∠BOC 的度数为A ．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45° 【答案】D【解析】由作图纸OP 为∠AOB 的角平分线，又OC 可能在OP 的两侧，由此可判断选D ．9. (2019 新疆建设兵团)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ；再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．则下列说法中不正确的是（ ）A ．BP 是∠ABC 的平分线B ．AD ＝BDC ．S △CBD ：S △ABD ＝1：3D ．CD ＝BD【答案】C【解析】由作法得BD 平分∠ABC ，所以A 选项的结论正确； ∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD＝30°＝∠A，∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；∵∠CBD＝∠ABC＝30°，∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；∴AD＝2CD，∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．故选：C．10. (2019 河南省)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD 的长为（）A．2B．4 C．3 D．【答案】A【解析】如图，连接FC，则AF＝FC．∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO．在△FOA与△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC＝3，∴FC＝AF＝3，FD＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，∴CD＝2 2 ．故选：A．二、填空题11. (2017 湖南省邵阳市)如图（八）所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝ OE；②分别以D，E为圆心，以大于12DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点 C；③作射线OC．则∠AOC的大小为____________．【答案】20°答案20°12. (2017 浙江省绍兴市) 如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________.【答案】x=0或x= 4 2 -4或4≤x<4 2【解析】以MN为底边时，可作MN的垂直平分线，与OB的必有一个交点P1，且MN=4，以M为圆心MN为半径画圆，以N为圆心MN为半径画圆，①如下图，当M与点O重合时，即x=0时，除了P1，当MN=MP，即为P3；当NP=MN时，即为P2；只有3个点P；②当0<x<4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此时MP3=4，则OM=ON-MN= 2 NP2-4= 4 2 -4.③因为MN=4，所以当x>0时，MN<ON，则MN=NP不存在，除了P1外，当MP=MN=4时，过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3；当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM= 2 MD=4 2 ，故4≤x<4 2 .与OB 有两个交点P 2和P 3 ，故答案为x=0或x= 4 2 -4或4≤x<4 2 .13. (2019 宁夏回族自治区)如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB ，BC 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ．若30A ∠=︒，则BCD ABDSS ∆∆= ．【答案】12【解析】由作法得BD 平分ABC ∠， 90C ∠=︒Q ，30A ∠=︒， 60ABC ∴∠=︒， 30ABD CBD ∴∠=∠=︒，∴DA=DB，在Rt BCD ∆中，BD=2CD ， ∴AD=2CD，∴12BCD ABD S S ∆∆=． 故答案为12．14. (2019 四川省成都市)如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO ，AB 于点M ，N ；②以点O 为圆心，以AM 长为半径作弧，交OC 于点M '；③以点M '为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠COB 内部交前面的弧于点N '；④过点N '作射线ON '交BC 于点E ．若AB ＝8，则线段OE 的长为 ．【答案】4【解析】由作法得∠COE ＝∠OAB ， ∴OE ∥AB ，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴OC ＝OA ， ∴CE ＝BE ，∴OE 为△ABC 的中位线， ∴OE ＝12 AB ＝12 ×8＝4．故答案为4．15. (2019 浙江省绍兴市)如图，在直线AP 上方有一个正方形ABCD ，∠PAD ＝30°，以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，与AP 交于点A ，M ，分别以点A ，M 为圆心，AM 长为半径作弧，两弧交于点E ，连结ED ，则∠ADE 的度数为 ．【答案】15°或45°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，∴∠ADE＝45°，当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，∴△AE′M为等边三角形，∴∠E′AM＝60°，∴∠DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∵AD＝AE′，∴∠ADE′＝15°，故答案为：15°或45°．三、作图题16. (2019 江西省)在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．【解析】（1）如图1，EF为所作；（2）如图2，∠BCD为所作．17. (2019 山东省青岛市)请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：∠α，直线l及l上两点A，B．求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．【解析】如图，△ABC为所作．18. (2019 四川省达州市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3．（1）尺规作图：不写作法，保留作图痕迹． ①作∠ACB 的平分线，交斜边AB 于点D ； ②过点D 作BC 的垂线，垂足为点E ． （2）在（1）作出的图形中，求DE 的长．【解析】（1）如图，DE 为所作；（2）∵CD 平分∠ACB ， ∴∠BCD ＝∠ACB ＝45°，∵DE ⊥BC ，∴△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE ＝CE ， ∵DE ∥AC ， ∴△BDE ∽△BAC ， ∴DE AC =BE BC ，即DE 2 =3-DE3∴DE ＝65。