126 第15章 量子物理基础15-1 太阳可看作是半径为m 100.78⨯的球形黑体，试计算太阳表面的温度。

太阳光直射到地球表面上单位面积的的辐射功率为321.510W/m ⨯，地球与太阳的距离为111.510m d =⨯。

解 已知320 1.510W/m P =⨯，8s7.010m R =⨯，m 105.111⨯=d 。

太阳辐射的总功率2s 4πE R ⋅，假设辐射没有能量损失，则分布在24πd 的球面上，有 22s 04π4πE R p d ⋅=⋅运用斯特藩—玻耳兹曼定律4E T σ=，得 1131/21/41/21/430881.510 1.510()()()() 5.910(K)7.010 5.6710s p d T R σ-⨯⨯===⨯⨯⨯15-2 已知地球到太阳的距离81.510km d =⨯，太阳的直径为61.410km D =⨯，太阳表面的温度为5900K T =，若将太阳看作绝对黑体，求地球表面受阳光垂直照射时，每平方米的面积上每秒钟得到的辐射能为多少？解 根据斯特藩—玻耳兹曼定律4E T σ=和能量守恒方程220π4πE D p d =，得()94242823201111 1.410()() 5.67105900W/m 1.510W/m 441.510D p T d σ-⨯==⨯⨯⨯=⨯⨯ 15-3 在加热黑体的过程中，其单色辐出度的最大值所对应的波长由0.69μm 变化到0.50μm ，其总辐射出射度增加了几倍？解 由维恩位移定律mT b λ=和斯特藩—玻耳兹曼定律4T E σ=得44422m111m20.69()()() 3.630.50E T E T λλ====（倍），即增加了2.63倍. 15-4 从铝中移出一个电子需要4.2eV 的能量，今有波长为2000 Å的光投射到铝表面，求(1)从铝表面发射出来的光电子的最大初动能是多少？(2)遏止电势差为多大？(3)铝的红限频率为多大？解 （1）由2m 12h m W νυ=+得 34821919m 101 6.62610310 4.2 1.60210J 3.2110J 2200010hc m h W W υνλ----⎡⎤⨯⨯⨯=-=-=-⨯⨯=⨯⎢⎥⨯⎣⎦ （2） 2m 12a eU m υ= 2m12 2.0V am U eυ== （3）由 0W h ν= 19150344.2 1.60210Hz 1.0210Hz 6.62610W h ν--⨯⨯===⨯⨯ 15-5 用波长为4000 Å的紫光照射金属，产生光电子的最大初速度为5510m/s ⨯，则光电子的最127大初动能是多少？该金属红限频率为多少？解 光电子的最大初动能为 ()2315219m m 119.1110(510) 1.1410J 22k E m υ--==⨯⨯⨯⨯=⨯ 将爱因斯坦光电效应方程改写成m 0k chE h νλ=+，则得该金属红限频率为()81914m 01034310 1.1410()() 5.7810Hz 400010 6.62610k E ch νλ---⨯⨯=-=-=⨯⨯⨯15-6 钾的截止频率为145.4410Hz ⨯，今以波长为4348 Å的光照射，求钾放出光电子的最大初速度。

解 将爱因斯坦光电效应方程改写成2m 012chm h υνλ=+，则得光电子的最大初速度 123481/2145m 0311022 6.62610310[()] 5.4410 4.6110(m/s)9.1110434810h cv m υλ---⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯=-=⨯-⨯=⨯⎢⎥ ⎪⨯⨯⎝⎭⎣⎦15-7 在康普顿效应中，入射光子的波长为3.0×10-3nm ，反冲电子的速度为0.6c (c 为光速)，求散射光子的波长和散射角。

解 根据康普顿效应中的能量守恒关系式2200cchm c hmc λλ+=+2222000000(14m c ccc ch h m c mc h m c h λλλλ=+-=+=-3412123034123180044 6.62610 3.010m 4.3410m 4.3410nm 44 6.62610 3.0109.1110310h h m c λλλ-------⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯根据康普顿效应公式0C ()(1cos )λλλλθ∆=-=-（12C 2.4310(m)λ-=⨯），得散射光子的散射角为1212012C 4.3410310arccos(1)arccos 163.352.4310λλθλ---⎛⎫-⨯-⨯=-=-=︒ ⎪⨯⎝⎭15-8 一个静止电子与一能量为34.010eV ⨯的光子碰撞后,它能获得的最大动能是多少? 解 当光子与电子发生正碰而折回(即散射角0180)θ=时,能量损失最大,光子的波长变为20c 0c 1802sin 22λλλλλ=+=+能量变为 00c c 0c222hc hchc hchc hc εελλλλελε====+++电子的最大动能为128 000c 0c 01(1)(1)221e hcE hc hcεεεελελε=-=-=-++319123193481814.010 1.60210(1)2 2.4310 4.010 1.602101 6.626103109.8810(J)-----=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯15-9 入射的X 射线光子的能量为0.60Me ，被自由电子散射后波长变化了20%，求反冲电子的动能。

解 由光子能量公式chελ=可知，光子散射后能量减少，波长增大为01.2λλ=根据能量守恒，反冲电子获得的动能k E 等于光子损失的能量，即000000.2011()0.600.10(MeV)1.20k hc E h h hc λλννλλλλλ∆=-=-==⨯= 15-10 一带电粒子经206V 的电势差加速后，测得其德布罗意波长为21000.2-⨯ Å，已知这带电粒子所带电量与电子的电量相等，求这粒子的质量。

解 因加速电压较低，不必考虑相对论效应。

设加速电压为U ，则带电粒子的动能为22k p E eU m==其德布罗意波长为h p λ==得粒子的质量为()()2342272219126.62610kg 1.6610kg 22 1.60210206 2.0010hm eU λ----⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 15-11 已知α粒子的静质量为276.6810kg -⨯，求速率为5000km/s 的α粒子的德布罗意波波长。

解 由于α粒子的运动速率c υ，故有0m m ≈，所以速率为5000km/s 的α粒子的德布罗意波波长为3452760 6.62610m 1.9810nm 6.6810510h h p m λυ---⨯====⨯⨯⨯⨯ 15-12 求温度为27℃时，对应于方均根速率的氧气分子的德布罗意波波长。

解129233422.5810nm h p λ--====⨯15-13 铀核的线度为157.210m -⨯，估算其中一个质子的动量和速度的不确定量。

解 对质子来说，其位置的不确定量157.210m r-∆=⨯，根据不确定关系/2r p ∆∆≥3421151.05107.2910(kg m/s)227.210p r ---⨯∆≥==⨯⋅∆⨯⨯ 216277.2910 4.410(m/s)1.6710p m υ--∆⨯∆=≥=⨯⨯ 15-14 试证明自由粒子的不确定关系可写成 24πx λλ∆∆≥,式中为自由粒子的德布罗意波长。

证明 根据德布罗意波长h p λ=，有 p h λ=两边微分取绝对值有2p h λ∆=∆代入不确定关系24πxx p ∆∆≥=24πx λλ∆∆≥15-15 如果粒子位置的不确定量等于其德布罗意波长,证明此粒子速度的不确定量 4πυυ∆≥。

证明 由题意可知 x λ∆=德布罗意波长h h p m λυ==且 p m υ∆=∆不确定关系 24πx h x p ∆∆≥=由上述各式4π4π4πh h m x m υυλ∆≥==∆15-16 设有一电子在宽为0.20nm 的一维无限深势阱中运动。

计算(1)电子在最低能级的能量；(2)电子处于第一激发态时，在势阱中何处出现的概率最小，其值是多少？130 解 （1） ()()2342181223196.62610J 1.5110 J 889.11100.210hE ma ----⨯===⨯⨯⨯⨯⨯（2）在一维无限深势阱中运动的粒子波函数π()1,2,3,n n x x n aψ==0x a <<第一激发态对应2n =,波函数为22π()x x aψ= 0x a << 在x 处出现的概率密度为 ()22222π()(sin )x x x a aωψ==概率的最小值为零,由()0x ω=得1nm x =15-17 在线度为51.010m -⨯的细胞中有许多质量为171.010kg m -=⨯的生物粒子，若将生物粒子作为微观粒子处理，试估算该粒子的n =100和n =101的能级和能级差各是多大。

（将粒子视为在一维无限深势阱中运动）。

解 按一维无限深势阱模型作估计，2228n h E n ma=，将数据代入得，()()23423710021756.62610100J 5.4910J 8 1.010 1.010E ----⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯()()23423710121756.62610101J 5.6010J 8 1.010 1.010E ----⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯它们的能级差为371011000.1110J E E E -∆=-=⨯15-18 一电子被限制在宽度为101.010m -⨯的一维无限深势阱中运动。

（1）欲使电子从基态跃迁到第一激发态，需给它多少能量？（2）在基态时，电子处于1010.09010m x -=⨯与1020.11010mx -=⨯之间的概率为多少？（3）在第一激发态时，电子处于10x =与1020.2510m x -=⨯之间的概率为多少？解 （1）电子从基态（n =1）跃迁到第一激发态（n =2）所需的能量为222221222188h h E E E ma ma∆=-=⨯-⨯131()()()()2234341722311031104 6.62610 6.62610J 1.8110J 113eV 89.1110 1.01089.1110 1.010-------⨯⨯⨯=-=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（2）当电子处于基态（n =1）时，电子在势阱中的概率密度为222π()sin x xa aψ=(0)x a <<，所求区间宽度102110.0210m=50x x x -∆=-=⨯⨯区间长度，可以采用近似计算.区间中点位置1021()/20.1010m c x x x -=+=⨯，则电子在所求区间的概率近似为21221()d ()x c x P x x x xψψ=≈∆⎰ 2210101010π22πsin sin (0.110)0.02101.010 1.010c x x a a ----=∆=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯33.810-=⨯ （3）电子在第一激发态（n =2）时，的概率密度为2222π()sin x x a aψ=，100.2510m=4ax-∆=⨯所求概率为212/4/4220022π14π()d sin d (1cos )d x a a x P x x x x x x a a a a ψ===-⎰⎰⎰414π(sin )0.254πaa x x a a =-= 15-19 根据玻尔氢原子理论，计算氢原子基态的轨道半径值。