角、角平分线中考要求例题精讲一、角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知：（1） 角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2） 顶点是这两条边的交点；（3） 角的两条边是射线，是无限延伸的.（4） 射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

二、角的表示方法① 利用三个大写字母来表示，如图1.1．∠AOB图1.1注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1.2．∠A图1.2A注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角，如图2.1．∠1图2.11③用希腊字母来表示角，如图2.2．∠α图2.2α三、单位换算1度＝60分(160︒=') 1分=60秒(160'=")四、角的度量（1）度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）（2）角的度量单位及其换算角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''．角度之间的关系1周角=360︒1平角＝180︒1直角＝90︒1周角＝2平角1平角＝2直角角的分类：锐角α（090α<<︒），直角α（90α=︒），钝角α（90180α︒<<︒）．五、两角的和、差、倍、分（1）两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.（2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.（3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR，折线使射线QR与射线QP重合，把纸展开，以Q为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR？六、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B、两点；（2）分别以A、B两点为圆心，以大于12AB长为半径画弧，画弧交于C点；（3）过C点作射线OC。

所以，射线OC就是所求作的。

OC BA七、余角、补角（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”.（2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”.（3）补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等.八、方位角方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向.即“北偏东⨯⨯度”、“北偏西⨯⨯度”、“南偏东⨯⨯度”、“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围0900≤≤α.“北偏东45度”为东北方向、“北偏西45度”西北方向、“南偏东45度”为东南方向、“南偏西45度”为西南方向.九、钟表角度问题时针12小时转动360度，每小时转动30度；分针60分钟转动360度，每分钟转动6度。

秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度。

一、角的概念及表示【例1】角是由有的两条射线组成的图形，两条射线的是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线．【解析】略【答案】公共端点公共端点绕端点旋转而得到的图形二、角的分类【例2】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（）A、4个B、7个C、9个D、10个【解析】当AO为角的一边时，有3个角；以OC为角的一边向右再找小于平角的角，依次类推得到所有小于平角的角．【答案】小于平角的角为：∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠COB、∠DOE、∠DOB、∠EOB共9个，故选C．【点评】应有规律去寻找角的个数，注意各条射线为角的始边依次向右寻找相关角．【例3】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（ ）A 、10个B 、15个C 、20个D 、25个【解析】找到以每一个字母为顶点的角，若该顶点处有多个角，则必须用三个大写字母表示．【答案】在该题中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的角有五个，且该顶点处只有一个小于180度的角，可用一个大写字母表示；以F 、G 、H 、M 、N 为顶点的角各有四个，共计4×5=20个，而该顶点处只有三个小于180度角，只能用三个大写字母表示．故选C ．【点评】此题不仅考查了对角的概念的掌握，还考查了数角的方法：找准角的顶点，统计出该顶点处的所有角，做到不漏数、不多数．三、角度的换算及运算【例4】（1）2020'4______︒⨯=。

（2）4437'3______︒÷= 【解析】（1）原式8080'8120'=︒=︒（2）先将度、分、秒的量数都化成3的倍数：4437'42237'47156'1'47156'60''1452'20''︒=︒+︒=︒++=︒++=︒【答案】（1）8120'︒；（2）1452'20''︒【例5】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（ ）个A ．4个B ．7个C ．11个D ．16个【解析】用一对普通的三角板能确定度数的最小角为604515︒-︒=︒，而其它角都是15︒的倍数．所以在小于平角的范围内，能画出确定度数的角有153045607590105120135150165︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒，，，，，，，，，，共11个，故选C ．【答案】C【例6】如右图，AOB 是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB ∠的度数．123A B C DO【解析】设1x ∠=，23x ∠=，32x ∠=，根据题意有32180x x x ++=︒，30x =︒，120DOB ∠=︒． 【答案】120︒四、余角和补角【例7】如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE ∠互余，射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．ABC DEO 图2F E B【解析】略【答案】COE ∠和BOE ∠互余，所以90AOC BOC ∠=∠=︒111222DOF EOF EOD EOC BOE BOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠AOF BOD AOC EOF BOD ∠+∠=∠+∠+∠ 3BOC EOF EOD DOF =∠+∠+∠=∠五、共定点角的相关计算【例8】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作DOE BOD ∠=∠，OF 平分AOE ∠，若28AOC ∠=︒，求EOF ∠． A BCDE FO【解析】28AOC DOE BOD ∠=∠=∠=︒，(1802828)262EOF ∠=︒-︒-︒÷=︒．【答案】62︒【巩固】 如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．（1）DOB ∠与DOA ∠的比是211∶，求BOC ∠的度数．（2）叠合所成的BOC n ∠=°(090n <<)，则AOD ∠的补角的度数与BOC ∠的度数之比是多少？ODCBA【解析】略 【答案】（1）70BOC ∠=︒；（2）1：1.【例9】已知：如图，OC 是AOB ∠外的一条射线，OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．①若100AOC ∠=︒，40BOC ∠=︒， 问：?EOF ∠= ②若AOB n ∠=︒，求EOF ∠的度数并说明理由．OC FE BA【解析】略【答案】①∵OE 平分AOC ∠，OF 平分BOC ∠（已知）∴12EOC AOC ∠=∠， 12FOC BOC ∠=∠（角平分线定义）∵100AOC ∠=︒，40BOC ∠=︒（已知）∴1100502EOC ∠=⨯︒=︒， 140202FOC ∠=⨯︒=︒（等量代换）∵502030EOF EOC FOC ∠=∠-∠=︒-︒︒＝（等量代换） ②∵OE 平分AOC ∠（已知）∴AOE EOC ∠=∠（角平分线定义） ∵EOC EOB BOF FOC ∠=∠+∠+∠∴AOE EOB BOF FOC ∠=∠+∠+∠（等量代换） ∵OF 平分BOC ∠（已知）∴BOF FOC ∠=∠（角平分线定义） ∵AOB AOE EOB ∠=∠+∠∴2AOB EOB BOF EOB ∠=∠+∠+∠2AOB BOF EOB ∠=∠+∠（）（等量代换） ∵EOB BOF EOF ∠+∠=∠，AOB n ∠=︒（已知）∴1122EOF AOB n ∠=∠=︒（等量代换）即：12EOF n ∠=︒【巩固】 如图，AOC ∠是直角，21.5COD ∠=︒，且OB OD ，分别是AOC ∠、BOE ∠的平分线，求AOE∠的大小.ODCEBA【解析】90221.566.5BOD BOC COD ∠=∠+∠=︒÷+︒=︒ 2178AOE BOE AOB BOD AOB ∠=∠+∠=∠+∠=︒ 【答案】178︒【例10】已知：OA 、OB 、OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠. 【解析】注意分情况讨论，容易的到答案：4324'︒或12636'︒. 【答案】4324'︒或12636'︒【巩固】 已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 与OC ，使60AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，求AOC∠的度数.【解析】 注意分类讨论，为80︒或40︒. 【答案】80︒或40︒【例11】已知αβ，都是钝角，计算()16αβ+，正确的结果只可能是（ ）A ．26︒B ．40︒C ．72︒D ．90︒【解析】根据题意9018090180αβ︒<<︒︒<<︒，，∴180360αβ︒<+<︒∴()130606αβ︒<+<︒，∴选B【答案】B【巩固】α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23︒、24︒、25︒这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求αβγ++的值．【解析】00909090180αβγ++<++<++ 16()2415αβγ<++<所以23︒答案正确．【答案】23︒【例12】如下图，AOC COD DOE EOB a ∠=∠=∠=∠=，若以OA ，OC ，OD ， OE 为始边的各角之和等于380°，求AOB ∠. EOD CBA【解析】解以OA 为始边的角的总和23410a a a a a =+++=；以OC 为始边的角的总和236a a a a =++=.以OD 为始边的角的总和23a a a =+=；以OE 为始边的角的总和就是a . 依条件，有1063380a a a a +++=°，解出19a =°. 于是476AOB a ∠==°.【答案】76︒【例13】如图，已知∠AOB=90°，在∠AOB 的外部画∠BOC ，然后分别画出∠AOC 与∠BOC 的角平分线OM和ON ．（1）下面的两个图形是否都符合题意？若符合，选择其中的一个图形，求∠MON 的度数；（2）若∠AOB=α，且当∠AOB+∠BOC ＜180°时，∠MON 的度数是多少？当∠AOB+∠BOC ＞180°时，∠MON 的度数又是多少？【解析】（1）结合题意，易知两个图形都符合题意，然后根据角平分线的定义，结合图形进行计算即可；（2）根据（1）中的结论即可发现结论．【答案】（1）两个图形是否都符合题意．对于图①，有∠MON=∠MOC ﹣∠NOC=∠AOC ﹣∠AOB=45°；对于图②，有∠MON=∠MOC+∠NOC=∠AOC+∠BOC=（∠AOC ﹣∠BOC ）=（360°﹣90°）=135°；（2）当∠AOB+∠BOC ＜180°时，∠MON=α； 当∠AOB+∠BOC ＞180°时，∠ON=180°﹣α．【点评】此题综合运用了角平分线的定义和角的和差计算方法．【例14】在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠，AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒，10AOD ∠=︒，求AOC ∠的度数.【解析】因为AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒，所以AOC ∠小于AOB ∠；（1）射线OC 在AOB ∠的外部，如图（1），设 ,AOC x AOB y ∠=∠=，根据题意有3251()102x y x y x -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩， 解得：4565x y =⎧⎨=⎩，即45AOC ∠=︒（2）射线OC 在AOB ∠的内部，如图（2），设AOC x AOB y ∠=∠=，，根据题意有 3251()102x y x y x -=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得：911x y =⎧⎨=⎩，即9AOC ∠=︒ 图（1）D CBAO图（2）D CBAO【答案】45︒或9︒【例15】以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使得:5:4AOC BOC ∠∠=，且AOC ∠，BOC ∠均小于180︒，若30AOB ∠=︒，求AOC ∠的度数.【解析】如图（1），5230(16)1640'93AOC ∠=⨯︒=︒=︒；如图（2），530150AOC ∠=⨯︒=︒如图（3），51(36030)(183)18320'18093AOC ∠=⨯︒-︒=︒=︒>︒，舍去图（1）CB AO图（2）CBAO图（3）CB AO【答案】1640'︒或150︒【巩固】 已知40AOB ∠=︒，从O 点引射线OC ，若:2:3AOC COB ∠∠=，且AOC ∠，COB ∠均小于180︒，求OC 与AOB ∠的平分线所成的角的度数.【解析】OD 是AOB ∠的角平分线，注意分类讨论：情况1，如图（1），OC 与AOB ∠的平分线所成的角的度数为100︒；情况2，如图（2），OC 与AOB ∠的平分线所成的角的度数为4︒.（1）DCB AO（2）DCBAO【答案】100︒或4︒六、钟表角度问题【例16】钟表上的时针、分针和秒针我们把钟表看成一个圆周，其上共有12个大格，故每个大格度数为3603012︒=︒，每个大格中又有5个小格，故每个小格度数为3065︒=︒ （1）12时时，钟表上的时针与分针重合，问每多长时间两针再重合？ （2）分针和秒针每隔多长时间重合一次？【解析】（1）可设x 分钟后相遇，这是追及问题，分针每分钟走6︒，时针每分钟走0.5︒，分针比时针多走一圈可列方程：60.5360x x -=，求解为x 约为65分27秒（2）可设x 分钟后相遇，也是追及问题，分针每分钟走6︒，秒针每分钟走360︒，秒针比分针多走一圈可列方程：3606360x x -=，求解为x 约为1分1秒【答案】（1）65分27秒；（2）1分1秒【例17】钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60︒的角？分别是几点几分？ 【解析】共有4次时针与分针夹成60︒的角.（1）第一次正好为2点整.（2）第二次设为2点x 分时，则101012x x =++，解得92111x =.（3）第三次设为3点y 分时，则101512y y +=+，解得5511y =.（4）第四次设为3点z 分时，则151012z z =++，解得32711z =【答案】4次成60︒角，分别是：2点整；2点92111分；3点5511分；3点32711分．【例18】钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x 的值是多少?【解析】因为秒针，分针，时针的速度分别是360度/分，6度/分，0.5度/分，显然x 的值大于1而小于2，则有6360(1)360(1)0.5,x x x x --=--解得:1440.1427x =故x 的值是14401427分钟. 【答案】14401427【例19】小王下午6点多外出买东西时，看到时钟上时针和分针互相垂直，近7点回到家时，发现时钟上时针和分针仍然互相垂直，试估计小王外出用了多长时间（精确到1分）？【解析】方法1设小王外出的时间为6点x 分，根据题意，这时分针应在时针之后，列出方程60.518090x x =+-，解得18011x =，故小王是6点18011分外出的，同理求得小王回家时刻为6点54011。