x2 4．经过点(3,0)的直线 l 与抛物线 y＝ 交于两点，且两个 2 交点处的切线相互垂直，则直线 l 的斜率 k=
1 －6
.
解析 设直线 l 的斜率为 k，则其方程为 y＝k(x－3)，设 直线 l 与抛物线的两个交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x2 y＝ ， 2 由 得 x2－2kx＋6k＝0， y＝k（x－3）， 所以 x1x2＝6k. x2 ∵y′＝ 2 ′＝x， ∴抛物线在 A、B 两点的切线的斜率分别为 x1，x2，于是 1 有 x1x2＝6k＝－1，故 k＝－6.
∴不存在这样的两点使结论成立．
探究提高 探索性问题的求解应先假设要证的结论成立， 然后依据结论出发求解．若得到一个与已知条件或定理等 矛盾的结论，则该探究性问题不存在，否则是存在的．
变式训练 1 已知函数 f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c 图象上的点 P(1，f(1))处的切线方程为 y＝－3x＋1，函数 g(x)＝f(x) －ax2＋3 是奇函数． (1)求函数 f(x)的表达式； (2)求函数 f(x)的极值．
题型分类
题型一
深度剖析
利用导数的几何意义解题
例 1 设函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d (a、b、c、d∈R)的图 2 象关于原点对称，且当 x＝1 时 f(x)有极小值－ . 3 (1)求 a、b、c、d 的值； (2)当 x∈[－1,1]时，问图象上是否存在两点使过此两点 处的切线互相垂直？试证明你的结论．
∴x2 0＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15. ∴P 点的坐标为(－2,15)．
2.奇函数 f(x)＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx 在 x＝1 处有极值x)＝x＋asin x 在 R 上递增，则实数 a 的取值范 围为________ [－1,1] ．
解
(1)f′ (x)＝－3x2＋ 2ax＋ b，
∵函数 f(x)在 x＝ 1 处的切线斜率为－3， ∴ f′ (1)＝－ 3＋2a＋b＝－3，即 2a＋b＝ 0， 又 f(1)＝－1＋ a＋b＋ c＝－2，得 a＋ b＋c＝－1，
(2)假设存在两点 A(x1， y1)、B(x2， y2)，过此两点的切线互 相垂直．
2 由 f′ (x)＝ x2－1 得 k1＝ x2 － 1 ， k ＝ x 1 2 2－ 1， 2 ∴ (x2 1－ 1)(x2－ 1)＝－ 1. 2 ∵－ 1≤ x1≤1，－1≤ x2≤ 1，∴x2 － 1 ≤ 0 ， x 1 2－ 1≤0， 2 2 2 ∴ (x2 1－ 1)(x2－ 1)≥ 0，这与(x1－ 1)(x2－ 1)＝－ 1 矛盾．
基础自测 1．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y＝x3－ 10x＋ 3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的
(－2,15)． 切线斜率为 2，则点 P 的坐标为________
解析 设 P(x0，y0)(x0<0)，由题意知：
2 y |xx0 3x0 10 2,
§3.3
导数的综合应用
基础知识 自主学习
要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数 f′(x)；(2)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0；(3)根据(2)的结果确定函数 f(x)的单 调区间． 2．求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域； （2） 求导数 f′(x)； (3)解方程 f′(x) ＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0 左右两侧值的符号，如果左正右负，那 么 f(x)在 x0 处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在 x0 处取极小值．
5．若函数 f(x)＝x3－3x＋a 有 3 个不同的零点，则实数 a 的 取值范围是(－2,2) .
解析 由于函数 f(x)是连续的，故只需要两个极值异号
即可．f′(x)＝3x2－3，令 3x2－3＝0，则 x＝±1，只需 f(－1)f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故 a∈(－2,2)．
解析 ∵f′(x)＝1＋acos x， ∴要使函数 f(x)＝x＋asin x 在 R 上递增，则 1＋a cos x≥0 对任意实数 x 都成立． ∵－1≤cos x≤1， ①当 a>0 时，－a≤acos x≤a，∴－a≥－1，∴0<a≤1； ②当 a＝0 时适合； ③当 a<0 时，a≤acos x≤－a，∴a≥－1，∴－1 ≤a<0. 综上，－1≤a≤1.
3．求函数 f(x)在闭区间[a，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 f(x)在闭区间[a，b]内连续、可导； (2)求函数 f(x)在开区间(a，b)内的极值； (3)求函数 f(x)在[a，b]端点处的函数值 f(a)，f(b)； (4)比较函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)的大小，其中 最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 4．利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问 题的数学模型，写出相应的函数关系式 y＝f(x)； (2)求导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)判断使 f′(x)＝0 的点是极大值点还是极小值点； (4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中 作答．一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义 域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．
思维启迪：函数图象关于原点对称，则函数 f(x)是一个 奇函数．又在 x＝1 处有极小值，则说明 f′(1)＝0.
解
(1)∵f(x)的图象关于原点对称，
∴ f(－ x)＝－f(x)， ∴－ ax3＋ bx2－ cx＋ d＝－ax3－bx2－ cx－ d， ∴ bx2＋ d＝ 0 恒成立， ∴ b＝ 0， d＝ 0.∴f(x)＝ ax3＋ cx， ∴ f′ (x)＝ 3ax2＋ c. 2 ∵当 x＝ 1 时，f(x)有极小值为－ ， 3 3a＋ c＝ 0， 1 a＝ ， ∴ 解得 3 2 a＋ c＝－ ， 3 c＝－ 1. 1 ∴ a＝ ， b＝ 0， c＝－ 1， d＝ 0. 3