综上，a＝－10.
• 规律方法 (1)求一个函数在闭区间上的最 值和在无穷区间(或开区间)上的最值时， 方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区 间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还 要研究其单调性，并通过单调性和极值情 况，画出函数的大致图象，然后借助图象 观察得到函数的最值．
• (2)分类讨论时，标准必须统一，分类后要 做到无遗漏、不重复，还要注意不越级讨 论，层次分明，能避免分类的题目不要分 类．
• ∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135， • ∴售价为9元时，年利润最大，最大年利
导数在不等式中的应用(师生共研) 例 3 (2015 年西安模拟)已知函数 f(x)＝x2x＋＋3aa2(a≠0，a∈R)． (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a＝1 时，若对任意 x1，x2∈[－3，＋∞)，有 f(x1)－f(x2)≤m 成立，求实数 m 的最小值．
函数的最值与导数(师生共研) 例 1 (2014 年高考江西卷)已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2) x，其中 a<0. (1)当 a＝－4 时，求 f(x)的单调递增区间； (2)若 f(x)在区间[1,4]上的最小值为 8，求 a 的值． 解析：(1)当 a＝－4 时，由 f ′(x)＝25x－2xx－2＝0 得 x＝25或 x ＝2，由 f ′(x)>0 得 x∈0，25或 x∈(2，＋∞)， 故函数 f(x)的单调递增区间为0，25和(2，＋∞)．
• ①审题，设未知数．②结合题意列出函数 关系式．③确4 年泰安模拟)某种产品每件成本为 6 元，每件售 价为 x 元(6<x<11)，年销售为 u 万件，若已知5885－u 与x－241 2 成正比，且售价为 10 元时，年销量为 28 万件．
• 1．函数f(x)＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上 的最小值为( )
• A．72
B．27
• C．－2
D．0
• 解析：f ′(x)＝4x3－4＝0⇒x＝1，当x>1 时f ′(x)>0，x<1时f ′(x)<0，故f(x)在[－ 2,3]上的最小值为f(1)，f(1)＝1－4＋3＝0， 故选D.
的单调性，或者函数的最值证明函数 h(x)>0，其中一个重要技巧就是找到函数 h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是 解决问题的一个突破口．
• 3．(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲 线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且 在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
第十二节 导数的综合应用
• 最新考纲展示 • 1．会求闭区间上函数的最大值、最小值
(其中多项式函数一般不超过三次)． 2. 会利用导数解决某些实际问题．
• 一、函数的最值与导数
• 1．函数y＝f不(x超)过在[a，b]上的最大值点x0指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值
都
不小f(于x0)．
• 2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点x0指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值
• (1)求a，b，c，d的值；
• (2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范 围．
解析：(1)由已知得 f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0) ＝4，g′(0)＝4.
而 f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故 b ＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而 a＝4，b＝2，c＝2，d＝2. (2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)． 设函数 F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x －2，则 F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)． 由题设可得 F(0)≥0，即 k≥1. 令 F′(x)＝0 得 x1＝－ln k，x2＝－2. ①若 1≤k<e2，则－2<x1≤0，从而当 x∈(－2，x1) 时，F′(x)<0；当 x∈(x1，＋∞)时，F′(x)>0，即 F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递 增，故 F(x)在[－2，＋∞)上的最小值为 F(x1)．而 F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.
都
f(x0)．
• 二、生活中的优化问题
• 利用导数解决生活中的优化问题的一般 步骤
• 1．极值只能在定义域内部取得，而最值 却可以在区间的端点取得，有极值的未必 有最值，有最值的未必有极值；极值有可 能成为最值，最值只要不在端点必定是极 值．
• 2．求函数在某个闭区间[a，b]上的最值， 只需求出函数在区间[a，b]内的极值及在 区间端点处的函数值，大的是最大值，小 的是最小值．
所以对任意 x1，x2∈[－3，＋∞)，f(x1)－f(x2)≤f(1)－f(－ 3)＝23.
所以对任意 x1，x2∈[－3，＋∞)，使 f(x1)－f(x2)≤m 恒成 立的实数 m 的最小值为23.
• 规律方法 利用导数方法证明不等式 f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方法是 构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数
(2)f ′(x)＝10x＋2ax2x＋a，a<0， 由 f ′(x)＝0 得 x＝－1a0或 x＝－a2. 当 x∈0，－1a0时，f(x)单调递增； 当 x∈－1a0，－a2时，f(x)单调递减； 当 x∈－a2，＋∞时，f(x)单调递增． 易知 f(x)＝(2x＋a)2 x ≥0，且 f－a2＝0.
• 规律方法 (1)解决实际问题的关键在于建 立数学模型和目标函数，把“问题情景” 转化为数学语言，抽象为数学问题，选择 合适的求解方法，而最值问题的应用题， 写出目标函数利用导数求最值是首选的方 法，若在函数的定义域内函数只有一个极 值点，该极值点即为函数的最值点．
• (2)利用导数解决优化问题的步骤：
(1)求年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
解析：(1)设5885－u＝kx－2412， ∵售价为 10 元时，年销量为 28 万件， ∴5885－28＝k10－2412，解得 k＝2. ∴u＝－2x－2412＋5885＝－2x2＋21x＋18. ∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－ 108x－108(6<x<11)．
• 令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2a. • ①当a>0时，0<2a，当x变化时，f ′(x)，
f(x)的变化情况如下表：
• ②当a<0时，2a<0，当x变化时，f ′(x)， f(x)的变化情况如下表：
• 所以函数f(x)的增区间是(－∞，2a)和(0， ＋∞)，减区间是(2a,0)．
(2)由21≤a≤43及(1)知，f(x)在[1,2a]内是减函 数，在[2a,2]内是增函数，
①当－2a≤1，即－2≤a<0 时，f(x)在[1,4]上的 最小值为 f(1)，由 f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得 a＝±2 2 －2，均不符合题意．
②当 1<－2a≤4，即－8≤a<－2 时，f(x)在[1,4] 上的最小值为 f－a2＝0，不符合题意．
③当－2a>4，即 a<－8 时，f(x)在[1,4]上的最小 值可能在 x＝1 或 x＝4 处取得，而 f(1)≠8，由 f(4) ＝2(64＋16a＋a2)＝8 得 a＝－10 或 a＝－6(舍去)， 当 a＝－10 时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4] 上的最小值为 f(4)＝8，符合题意．
• 答案：D
2．函数 y＝x＋2cos x 在区间0，π2上的最大值是________．
解析：y′＝1－2sin x，令 y′＝0，又 x∈0，2π，得 x＝π6，则 x∈0，π6 时，y′>0；x∈π6，2π时，y′<0，故函数 y＝x＋2cos x 在0，π6上单调 递增，在π6，2π上单调递减，所以当 x＝π6时，函数取得最大值，为π6＋ 3.
又 f(2)－f(1)＝(8－12a＋b)－(1－3a＋b)＝7－ 9a>0，
∴M＝f(2)＝8－12a＋b，m＝f(2a)＝8a3－12a3 ＋b＝b－4a3.
∴M－m＝(8－12a＋b)－(b－4a3)＝4a3－12a ＋8.
设 g(a)＝4a3－12a＋8，
∴ g ′(a) ＝ 12a2 － 12 ＝ 12(a ＋ 1)(a － 1)<0a∈12，34.
• (1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元， 求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总 建筑费用＋购地费用)
• (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费
• 解析： (1)由已知，写字楼最下面一层的 总建筑费用为4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，
• 从第二层开始，每层的建筑总费用比其下 面一层多
解析 f′(x)＝－xx－2＋a3ax＋223a. 令 f′(x)＝0，解得 x＝a 或 x＝－3a. (1)当 a>0 时，f′(x)，f(x)随着 x 的变化如下表：
• 函数f(x)的单调递增区间是(－3a，a)，函 数f(x)的单调递减区间是(－∞，－3a)，(a， ＋∞)．
• 当a<0时，f ′(x)，f(x)随着x的变化如下表：
• 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，
• 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800为首项，20为公差的等差数列，
• 所以函数表达式为
• y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000
(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为 g(x)＝2 f00x0x×10 000＝510x2＋79x0x＋9 000 ＝50x＋90x0＋79 g ′(x)＝501－9x020，由 g ′(x)＝0 及 x∈ N*得，x＝30. 易知当 x＝30 时，g(x)取得最小值． 该写字楼建为 30 层时，每平方米平均开发费 用最低．