平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法
例题1 已知：P，a ，求：A、B处约束反力。
解：（1）取刚架为研究对象 （2）画受力图 （3）按比例作图求解
由图中的几何关系得
FA
P2FB2
5P 2
F B Ptan 0.5P
PC
2a
D
a
A
B
FA
FB
FA
FB
P
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法
例题2 运输用的架空索道。钢索的两端分别固结在支架的A端和B端，
引言
力系—作用在物体上所有力的总称（力的集合） 根据力的作用线是否共面可分为： 平面力系
空间力系 汇交力系 根据力的作用线是否汇交可分为： 平行力系 任意力系
平衡力系—作用在物体上使物体保持平衡的力系
引言
桥梁受有：自身重力、铁轨压力、桥墩作用力、风载等。 机身受有：自身重力、旋翼轴的作用力、空气动力等。 研究内容：刚体在各种力系作用下平衡的一般规律。
Байду номын сангаас
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法
§2-3 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。
F3 F2
n
F i
0
F4
i1
结论：平面汇交力系平衡的必要
和充分条件是，该力系的力多边
F1
FR
A
2.解题步骤
形自行封闭。 先画主动力，再画约束反力
（1）选研究对象；（2）画受力图；（3）选比例尺作力多边形。
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于
各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
F R F 1 F 2 F n F i
几点讨论：
F3
F2
F4
合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关；
各分力矢必须首尾相接；
F1
FR
A
合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。
j)FRy FR
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
§2-5 平面汇交力系平衡方程及其应用
1.平面汇交力系的平衡方程
平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。
F R F R 2 x F R 2 y ( F x)2 i ( F y)i2 0
F xi 0 两个独立方程
F yi
0
故 FRx= F1x + F2x+ F3x+ F4x
d2
F3
c2
F4
be22
F2
F1
a2
FR
FRy= F1y + F2y+ F3y + F4y
a1 b1 c1
d1 e1
x
推广到n个力 FRx= F1x + F2x+ F3x+… +Fnx=∑Fix
FRy= F1y + F2y+ F3y +…+Fny=∑Fiy 合力（合矢量）投影定理：合力（合矢量）在任一轴上的投影 等于各分力（分矢量）在同一轴上投影的代数和。
设钢索ACB长为2l，最大柔度为h，如略去钢索的重量及滑轮C沿钢
索的摩擦。试求当重为P的载荷停留在跨度中心时钢索的张力。
解：（1）取滑车为研究对象 F1
A
F2
h
α
B
（2）画受力图
αα
C
（3）作力三角形
C
sinMN/2h
KM l
P
Pl P
F1 F2 2h2sin
由此式可知，柔度h越大，绳的张力越小；
P
M F1
α Pα
K
N F2
h0,F如果要求绳张力不超过一定值，则α应满足什么条件？
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
§2-4 平面汇交力系合成的解析法
1.力的投影与分解
y
力在坐标轴上的投影
Fx Fcos Fy Fcos Fsin
Fy
B
F Fy
A
Fx
j
力沿坐标轴的分解
Oi
x Fx
F xF xi, F yF yj
§2-1 工程中的平面汇交力系问题
工程实例
平面汇交力系，就是各力的作用线都在同一平面内， 且汇交于一点的力系
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法
§2-2 平面汇交力系合成的几何法
F1 A
F2
FR F2
F3
F4
F3
FR1 FR2
F1
FR
F4
A
F2 A
F4 FR F1
F3
两个共点力的合成—力的平行四边形法则（三角形法则） 任意个共点力的合成—力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。
引言
设：共点力系{F 1,F 2, ,F n}作用在质量为 m 的质点上。
根据牛顿第二定律有
ma
n
Fi
FR
n
i1
结论：力系中 F i 是反映其作用效应的物理量之一
i1
F
A
F
AF
B
A
B
F
A
F
D
问题: 如何用数学 工具描述非共点力 系对刚体的作用效 应?
第二章 平面汇交力系
§2-1 工程中的平面汇交力系问题 §2-2 平面汇交力系合成的几何法 §2-3平面汇交力系平衡的几何条件 §2-4平面汇交力系合成的解析法 §2-5平面汇交力系平衡方程及其应用 结论与讨论
a
PC
2a
D
Fx 0, PFAco s0 Fy 0, F BF Asin0
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
3.合成的解析法（投影法）
y
F R F 1 F 2 F n F i F1
F2
FR
根据合力投影定理：
FRxFx1Fx2 FxnFx i FRyFy1Fy2 FynFyi
A
F3
x
F4
FR FR2xFR2y (Fxi)2(Fyi)2
cosF(R,i)FFRRx,cosF(R,
问题：投影与分力的 大小一定相等么？
F F x F y F x i F yj
注：投影是代数量，分力是矢量。
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.合力投影定理（合矢量投影定理）
合力FR与各分力矢在x轴和y轴上投影 y
的关系为 a1e1= a1b1+b1c1+c1d1+d1e1 a2e2= a2b2+b2c2+c2d2-d2e2
（1）投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数；
（2）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相 反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说 明物体受压力。
平面简单力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
例题3 已知：P，a ，求：A、B处约束反力。
解： （1）取刚架为研究对象 （2）画受力图 （3）建立坐标系，列方程求解
可求解两个未知量
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个任选的坐
标轴上投影的代数和等于零。
只要不平行即可
平面简单力系
2. 解析法解题步骤： （1）选取研究对象；
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（2）画出研究对象的受力图；
（3）合理选取坐标系，列平衡方程求解；
（4）对结果进行必要的分析和讨论。
几点说明：