Ay Bx y0 x 0 Ay B y y0 y0 Ay B z y 0 z 0
称C
Az B x z 0 x 0 Az B y z 0 y0 Az B z z 0 z 0
为 并矢 。所以在三维空 间，标量用一个元素表示，矢量用三 个元素
其运算法则是夹在中间两个单 位矢量按 标积运算。 并矢的一次标积 A B ， 并矢的二次标积 A : B ，其运算法则是夹在中间的两个单位矢量先按标积
// (1 )k x k z // (1 )k y k z 0 2 k 2 2 2 // z // kx ky
k
2 2
// 2 k k k z 2 //
波方程
寻常波解
k 2 2


2 k 2 0 0
0 k 2 2 0
,由此得到
vp / k 1/
E 0 x // (1 )k y k z E 0 y 0 2 E 0 z // k z 2 2 2 // kx ky z // 1 k x k z
D x xx D y yx D z zx
B x xx B y yx B z zx
xy xz E x yy yz E y E zy zz z
k E0 k x E0x k y E0y k z E0z ( 1 ε // )k z E0z ε
0 0
0

0
0 0 //
k 2 E0 k (k E0 ) k02 r E 0 k 2 ( E0 x x0 E0 y y0 E0 z z0 ) (k x x0 k y y0 k z z0 )(1
// )k z E0 z 2 ( E0 x x0 E0 y y0 + E0 z z0） =0
// )k k E =0 x z 0z （k 2 - 2 ）E0 y (1 / / )k y k z E0 z =0
（k 2 - 2 ）E0 x (1
vp sin 2
//
cos 2 ε
z k
z k
可见波的相速与传播方向有关。 当一极化方向任意的线极化波入射 到单晶片上时将分解为极化方向垂直 于 yz 平面的寻常波和极化在 yz平 面内的非寻常波。 由于两种波的 k 值不同, 折射角不 同, 在晶片内这两个波的射线将分 离，这就是双折射现象。
k
将k 2 2 0代入波方程还得到 Ez 0
kD 0
将单轴晶体的 ε 代入
// k E 1 k z Ez 0
D,E y B,H
Ez 0
表明波的电场矢量E 没有平行于波矢量k的分量，E与D的方向重合。由于Ez=0， 所以E（以及D）与光轴z方向垂直，因此E及D垂直于k和z轴构成的平面。 与各向同性介质中的平面波性质相同，所以称为寻常波。
（a）
k 2 (sin 2
// cos 2 ) 2 //
电磁场矢量与波矢量关系 （a）寻常波 （b）非寻常波
可得出
vp
sin 2
//
cos 2 ε
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非寻常波（ Extraordinary Wave）
说明D和B(或H)均与波矢量垂直 再以平面波解代入旋度方程
H j D
得到
k H D
说明D，H（B）和k三个矢量是按右手螺旋关系互相垂直的
6
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电各向异性介质中D与E不再平行
由于介电常数 ε 是张量，D与E一般是
B 0
E k ε E 0
2 0 r
1 (εr H ) k02 H 0
假定各向异性介质中波方程也有平面波形式的解
E ( r ) E 0 e jk r
代入波动方程，经过矢量运算得到
H (r ) H 0 e jk r
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并矢
两矢量的直接相乘，如 C AB ( Ax x 0 A y y 0 Az z 0 )( B x x 0 B y y 0 B z z 0 )
Ax B x x 0 x 0 Ax B y x 0 y 0 Ax Az x 0 z 0
( zx Ex zy E y zz Ez ) z0
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电各向异性介质中的波方程
电各向异性介质中麦克斯韦方程
E j H D 0
由此可导出电磁场满足的矢量波动方程
H j D j 0 εr E
2 y
设是波矢k与z轴的夹角，第二个解可写成更方便的形式
// k (sin cos 2 ) 2 //
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单轴介质中可能传播两种平面波，具有不同的物理特征，分别称为寻 常波和非寻常波。
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寻常波（Ordinary Wave）
/ / kz 2 (k k z 2 ) E0 z 0
2 2
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单轴介质色散方程
2 k 2 det 0 0
它有两个解
2
0 k 2 2 0
2
2 x
运算，剩下的两边的两个单位矢量 再进行一次标积运算。如
表示，而 并矢就要用 9 个元素 表示 。
x 0 x 0 x 0 y 0 x 0 y0
x 0 x 0 y0 y 0 0
x 0 x 0 : x 0 x0 x0 x0 1
3
x 0 x0 : x0 y0 x 0 y0 0
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单轴介质的色散方程
矢量波方程
k E0 k (k E0 ) k E 0
2 2 0 r
Hale Waihona Puke 将单轴介质张量表达式代入 k D 0 得到 // k E 1 k z Ez 矩阵形式
电各向异性介质中D，H，k三者互相垂直
E ( r ) E 0 e jk r
代入散度方程 得到 k D 0
H ( r ) H 0 e jk r
E D
D、E、k平面 z
D 0
B 0
k B k H 0
k x y
各向异性介质中平面波场矢量与 波矢量的关系
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D E0x x0 E0y y0 // E0z z0 k D k x E0x k y ε E0y k z ε // E0z 0
(k x E0x k y E0y ) k z ε // E0z
13 D,E y
xy yy zy
2
（1）
而在磁各向异性介质中，磁感应强度 B 与磁场强度 H 不再平行，其关系为
xz H x yz H y H zz z
（2）
式（1）表示在电各向异性介质中，外加电场 Ex 分量可感应 Dx、Dy、Dz 三个分量， 而式（2）表示，外加磁场 Bx 分量可感生 Hx、Hy、Hz 三个分量。其余类推。
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各向异性介质本构关系的并矢表示
如定义并矢
xx x0 x0 ε yx y0 x0 z x zx 0 0
xy x0 y0 xz x0 z0 yy y0 y0 yz y0 z0 zy z0 y0 zz z0 z0
( E ) ( E ) 2 E
k E0 k ( k E0 ) k E 0
2 2 0 r

k r (k H 0 ) k02 H 0 0
1
这就是平面波复振幅应当滿足的矢量方程
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0 0
单轴介质张量表示
0

0
0 0 //
再将上式代入矢量波动方程,分解为直角坐标分量方程后可写成下面的
2 k 2 0 0
0 k 2 2 0
E 0 x // (1 )k y k z E 0 y 0 2 E0 z k 2 k x2 k y // z 2 // // 1 k x k z
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Lesson 10
Electromagnetic Fields and Waves
各向异性介质中的平面波
郑史烈
zhengsl@ 2014年4月9日星期三
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各向异性介质中的本构关系
E 与 D 一般的线性 在电各向异性介质中， 电场强度 E 与电通量密度 D 不再平行， 关系为
E E x x 0 E y y0 E z z 0 那么引入并矢后，D和E关系可简写为 D = ε E