2 k 2 E0 k (k E0 ) k0 r E 0
这就是平面波复振幅应当滿足的矢量方程
5
2 k r1 (k H 0 ) k0 H 0 0
电磁场与电磁波 · 第八讲 平面波在各向异性介质中的传播 · 章献民
电各向异性介质中D，H，k三者互相垂直
B与H关系可记为 B = μ · H
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( yx Ex yy E y yz Ez )y 0
电磁场与电磁波 · 第八讲 平面波在各向异性介质中的传播 · 章献民
电各向异性介质中的波方程
电各向异性介质中麦克斯韦方程
E j H
D 0
由此可导出电磁场满足的矢量波动方程
将 ������ 2 − ������2 ������������⊥ = 0 代入波方程还得到 ������������ = 0
kD 0
Ez 0 电场矢量 E 没有平行于波矢量k的分量，E与D的方向重合。由于Ez=0，所以E
将单轴晶体的 ε 代入
// k E 1 k z Ez 0
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电磁场与电磁波 · 第八讲 平面波在各向异性介质中的传播 · 章献民
单轴介质色散方程
// 0 (1 )k x k z // 2 2 k (1 )k y k z 0 // k z2 2 2 2 0 kx ky // // 2 2 2 2 2 kx ky k z 2 // 它有两个解 k
0 k 2 2 0
, 由此得到
寻常波解
k 2 2


vp / k 1/
E 0 x // (1 )k y k z E 0 y 0 2 E0 z // k z 2 2 2 kx ky // // 1 k x k z
kE k 2 E 2 k k 2 E (2) k
各向异性介质中平面波场矢量与 波矢量的关系
D
k2
2E7来自 因此E的垂直于k的分量与矢量D平行，E矢量处于D与k构成的平面内。
电磁场与电磁波 · 第八讲 平面波在各向异性介质中的传播 · 章献民
单轴介质的色散方程
2 E k0 εr E 0
H j D j 0 εr E
B 0
2 (εr1 H ) k0 H 0
假定各向异性介质中波方程也有平面波形式的解
E (r ) E0e
jk r
H (r ) H 0e jk r
代入波动方程，经过矢量运算得到
那么引入并矢 后，D和E关系可简写为 D =
εE
因为 ε E ( xx Ex xy Ey xz Ez ) x0
( zx Ex zy E y zz Ez ) z0 11 x0 x0 12 x0 y0 13 x0 z0 同样引入并矢 μ 21 y0 x0 22 y0 y0 23 y0 z0 31 z0 x0 32 z0 y0 33 z0 z0
由于介电常数 是张量，D与E一般是
不平行的将平面波解代入矢量波方程 或
D
z
E 2 E 0 E 2 D 0 (1)
k x y
因为 E 2 E ( E )
E是电场垂直于波矢量k方向的分量 式(1)与式(2) 比较，得到
矢量波方程
k 2 E0 k (k E0 ) k02 r E 0
单轴介质张量表示
将单轴介质张量表达式代入 k D 0 得到 k E 1 // k z Ez
0 0
0

0
0 0 //
0 y 0y 0 0
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Ex x 0 Ey y0 / / z 0 z 0 Ez z 0 0 0
电磁场与电磁波 · 第八讲 平面波在各向异性介质中的传播 · 章献民
寻常波（Ordinary Wave）
波方程
2 k 2 0 0
（以及D）与光轴z方向垂直，因此 E 及 D 垂直于 k 和 z 轴构成的平面。
与各向同性介质中的平面波性质相同，所以称为寻常波。
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电磁场与电磁波 · 第八讲 平面波在各向异性介质中的传播 · 章献民
非寻常波（ Extraordinary Wave）
取光轴 z 和波矢 k 构成的截面为 yz平面 ，在如此选取的坐标系中
y
D,E

E B,H D （b）
y B,H （a）
直于 yz 平面的寻常波和极化在
yz平面内的非寻常波。 由于两种波的 k 值不同, 折射角不 同, 在晶片内这两个波的射线将分 离，这就是双折射现象。
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电磁场与电磁波 · 第八讲 平面波在各向异性介质中的传播 · 章献民
并矢
在物理问题中也可能碰到两矢量的直接相乘，如
C AB ( Ax x0 Ay y0 Az z0 )( Bx x0 By y0 Bz z0 )
Ax Bx x0 x0 Ax By x0 y0 Ax Az x0 z0 Ay Bx y0 x0 Ay By y0 y0 Ay Bz y0 z0
并矢的二次标积 ，其运算法则是夹在中间的两个单位矢量先按标积运算， 剩下的两边的两个单位矢量再进行一次标积运算。如
x0 x0 : x0 x0 x0 x0 1
3
x0 x0 : x0 y0 x0 y0 0
电磁场与电磁波 · 第八讲 平面波在各向异性介质中的传播 · 章献民
各向异性介质本构关系的并矢表示
可得出 v p
sin 2
//
cos 2 ε
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电磁场与电磁波 · 第八讲 平面波在各向异性介质中的传播 · 章献民
非寻常波（ Extraordinary Wave）
vp
sin 2
//
cos 2 ε
z k
z k
可见波的相速与传播方向有关。 当一极化方向任意的线极化波入射 到单晶片上时将分解为极化方向垂
2 2
1 sin 2 cos 2 2 2 2 ne ( ) n/ / n
y
n

x
n
//
z
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电磁场与电磁波 · 第八讲 平面波在各向异性介质中的传播 · 章献民
折射率椭球
y
n

x

n
//
z
Dx x0 x0 x0 D y 0 y 0 Dz z 0 0
xx x0 x0 xy x0 y0 xz x0 z0 如定义并矢 ε yx y0 x0 yy y0 y0 yz y0 z0 z x z y z z zy 0 0 zz 0 0 zx 0 0 而 D Dx x0 Dy y0 DZ z0 E Ex x0 Ey y0 Ez z0
Az Bx z0 x0 Az By z0 y0 Az Bz z0 z0
称为并矢。所以在三维空间，标量用一个元素表示，矢量用三个元素表示，
而并矢就要用9个元素表示。
并矢的一次标积 ，其运算法则是夹在中间两个单位矢量按标积运算。如
x0 x0 x0 y0 x0 y0
x0 x0 y0 y0 0
B x xx B y yx B z zx
xy yy zy
xz H x yz H y zz H z
外加磁场 ������������ 分量可感生������������ , ������������ , ������������ 三个分量。其余类推。
再将上式代入矢量波动方程,分解为直角坐标分量方程后可写成下面的
2 k 2 0 0
矩阵形式
0 k 2 2 0
E 0 x // (1 )k y k z E 0 y 0 2 E0 z // k z 2 2 2 kx ky // 1 // k x k z
Dx xx D y yx D z zx
xy xz E x yy yz E y zy zz E z
在电各向异性介质中，外加电场 ������������ 分量可感应 ������������ , ������������ , ������������ 三个分量 在磁各向异性介质中，磁感应强度B与磁场强度H不再平行，其关系为
2 2
电磁场与电磁波 · 第八讲 平面波在各向异性介质中的传播 · 章献民
折射率与 角有关
// k (sin cos 2 ) 2 // // 1 e ( ) // sin 2 cos 2 2 2 sin cos //
z k z k
k x 0,
Ex 0
D,E

E B,H D （b）
E和D都处于yz平面内，但E有沿
y
B,H （a）
波传播方向的分量，而D与k总是
垂直的，所以D与E不再保持平行。 由
y
k 2 (sin 2
// cos 2 ) 2 //
电磁场矢量与波矢量关系 （a）寻常波 （b）非寻常波
设是波矢k与z轴的夹角，第二个解可写成更方便的形式