§2.6 用初等变换求逆矩阵
一. 用初等变换法求逆矩阵 及解矩阵方程
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一、等价定理
定理1：设A是n阶方阵，则如下的命题等价： （1）A是可逆的 ； （2）A~E，E是n阶单位矩阵； （3）存在n阶初等矩阵 （4）A可经过有限次初等变换化为E. 证明1 （1）→（2）易证明(见书上证明) （2）→（3） 因为A ~ E，再由矩阵 等价的对称性，
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0 1 0 2 0 3 可见 A – E 可逆, 且
注意：这个 r2 是新的结果
注: 若要求 方法一： 方法二：
思考: 设 A, B 可逆, 如何解矩阵方程 AXB=C ?
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内容小结
1. 矩阵的初等变换与初等矩阵 注意: 初等矩阵可逆, 其逆矩阵为同类型初等矩阵 用初等矩阵左乘 A ↔ 对A 作行变换 用初等矩阵右乘 A ↔ 对A 作列变换
有 E ~ A 。那么，把E变为A的初等变换所对应的初等矩阵为 P1P2 Pl ,即有：P1P2 Pr E Pr1 Pl A，所以 A P1P2 Pl
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（3）→（4） ，由 A P1P2 Pl
有 Pl1 P21P11A E 由于 Pl1 , , P21, P11 仍是初等矩阵，上式说明对A
即如何求 X = A–1B ? 分析: A 可逆
左侧的意义：
对A、B 作相
同的行变换
即有
上式表明: 若 (A B) r (E X ) , 则 A 可逆, 且 X 即为
AX = B 的解 X = A–1B.
特别, 若 ( A E) r (E A1)
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例1：设
解：
，试用初等变换法求
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所以
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例2. 设
问B是否可逆？
若可逆，求其逆阵 B –1。 解法1.
不可能化为 单位阵 可见B不可逆
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解法2. 利用 “A可逆 A ”
B不可逆
一、二两行相同 ！
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例3. 求解 解: 原方程变形为
r2 2r1 r2 r3 r3 4r2 r3 (1)
实施有限次初等行变换可化为E， 列的情形类似可得。 （4）→（1） 设A可经有限次初等行变换可化为E，
则存在初等矩阵 Q1,Q2 , ,Ql ，使
Q1Q2 Ql A E
由于 初等矩阵 Q1,Q2 , ,Ql 可逆， 所以A可逆。证毕。
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给定n 阶可逆方阵 A 及 n×s 阶矩阵 B, 如何解 AX = B ?
2. 用初等变换法求矩阵的逆 : ( A E) r (E A1)
3. 用初等变换法求 AX = B 的解 X =A–1B :
( A B) r (E A1B)
解 YA = C 转化为解 AY C 4. 与任意矩阵A 等价的三种简单矩阵
作业 P64. 25(1), （2）
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