(−1) n 收敛. ∑ n n =1
∞
3) 若用比值审敛法(根值审敛法)判断出 ∑ un n =1 un+1 发散，即 lim > 1(或 lim n un > 1) ，则必有 n→∞ u n→∞ ∞ n lim un ≠ 0, 或 lim un ≠ 0， 从而∑ un 发散.
n→∞ n→∞ n =1
13
n (2) 令 u n = n , e u n +1 ∵ lim n →∞ u n
2
(n + 1) e n +1 = lim 2 n →∞ n en
2
1 ⎛ n + 1⎞ 1 = lim ⎜ ⎟ = <1 n →∞ e ⎝ n ⎠ e
2
∴
∑
∞
n =1
2 2 ∞ n n n (−1) n 收敛, 因此 ∑ (−1) n 绝对收敛. n e e n =1
(C) 条件收敛 ;
n →∞
n
(D) 收敛性根据条件不能确定.
n = 1, 知 (B) 错 ; 分析: 由 lim u
1 + 1 ) +( 1 + 1 ) −( 1 + 1 ) +( 1 + 1 ) 又 S n = −( u u2 u 2 u3 u3 u 4 u 4 u5 1
+
1
1 + 1 ) + (−1) n +1 ( u un +1 n
n +1
20
1 + ( −1) n +1 1 = −u u
作业
P248 1 (3)(5), 5, 6, 8
21
注：绝对收敛级数与条件收敛级数具有不同的性质. 例如， 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和， 但条件收敛级数不具有这条性质.
17
内容小结
∞ n =1 ∞
任意项级数审敛法
概念: 设 ∑ u n 为收敛级数
若 ∑ u n 收敛 , 称 ∑ u n 绝对收敛
n =1 ∞ n =1 ∞
∞
若 ∑ u n 发散 , 称 ∑ u n 条件收敛
n →∞
又
n →∞
lim S 2 n +1 = lim ( S 2 n + u 2 n +1 ) = lim S 2 n = S
n →∞ n →∞
故级数收敛于S, 且 S ≤ u 1 , S n 的余项 :
rn = S − S n = ± (u n +1 − u n + 2 + ∴ rn = u n +1 − u n + 2 +
6
三、绝对收敛与条件收敛
首先，对任意常数项级数 ∑ u n , 构造出如下三 n =1 个正项级数： 1) 保留级数中的正项，换负项为0，得到
∞
∑v
n =1
∞
n
,
un + un ⎧un , un > 0, =⎨ vn = 2 ⎩ 0, un ≤ 0. ∞ 2) 保留级数中的负项，换非负项为0，得到 ∑ (− wn ), un − un ⎧un , un < 0, wn = =⎨ 2 ⎩ 0, un ≥ 0.
10
∞
定理8. 若 ∑ u n 绝对收敛，则 ∑ vn 和 ∑ wn 都收敛； 若 ∑ u n 条件收敛，则 ∑ vn 和 ∑ wn 都发散.
n =1 n =1
n =1
∞
∞
∞
∞
n =1
∞
∞
n =1
n =1
un + un un − un ， wn = 证：由于 vn = 2 2 ∞ ∞
∞
若 ∑ u n 绝对收敛，则 ∑ u n 和 ∑ | un | 收敛.
14
(−1) n 例2. 判断级数 ∑ p ( p为常数 )的收敛性，若收 n =1 n 敛，请指明是绝对收敛还是条件收敛.
∞
15
(−1) n 例2. 判断级数 ∑ p ( p为常数 )的收敛性，若收 n =1 n 敛，请指明是绝对收敛还是条件收敛.
∞ ∞ (−1) n 1 解：由于 ∑ p = ∑ p ：当 p > 1 时收敛；当 p ≤ 1 n n =1 n =1 n ∞ (−1) n 时发散，而 ∑ p ：当0 < p ≤ 1 时，由Leibniz判别 n =1 n (−1) n ≠ 0, 故级数发 法知级数收敛；当 p ≤ 0 时， lim p n→∞ n 散. ∞ (−1) n 所以 ∑ p ：当p > 1时绝对收敛；当 0 < p ≤ 1 时条件 n =1 n 收敛；当 p ≤ 0 时发散. 16 ∞
n =1
∞ ∞
n =1
n =1
所以 ∑ vn 和 ∑ wn 收敛. 若 ∑ u n 条件收敛，则 ∑ u n 收敛， ∑ | un |发散. 所以 ∑ vn 和∑ wn 发散.
n =1
n =1
∞
n =1
n =1
∞
∞
n =1 ∞
n =1
n =1
∞
11
例1. 证明下列级数绝对收敛 : 2 ∞ ∞ sin nα nn (1) ∑ 4 ; (2) ∑ (−1) n . e n =1 n =1 n
2
证: ∵ S 2 n = (u1 − u 2 ) + (u3 − u 4 ) +
+ (u 2 n −1 − u 2 n ) − (u 2 n − 2 − u 2 n −1 )
S 2 n = u1 − (u 2 − u3 ) − (u 4 − u5 ) −
− u 2 n ≤ u1
∴ S 2 n 是单调递增有界数列, 故 lim S 2 n = S ≤ u 1
(A) 发散 ; (C) 条件收敛 ; (B) 绝对收敛; (D) 收敛性根据条件不能确定.
19
设 u n ≠ 0 (n = 1, 2 , 3 , ), 且 lim n = 1, 则级数 un → ∞ n ∞ 1 1 n (−1) ( + ) ( C ). ∑ un un+1 n =1 (A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
第十章
第三节 常数项级数的审敛法
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛
1
一 、交错级数及其审敛法
设 u n > 0 , n = 1, 2 ,
, 则各1 u n +
+ (−1) n un +
u1 − u 2 + u3 −
或 − u1 + u2 − u3 +
n =1
3) 将级数中的负项取绝对值，得到绝对级数
∑| u
n =1
∞
n
7
|.
定义: 对任意常数项级数 ∑ u n , 若 ∑ u n 收敛 , 则称 原级数 ∑ u n 绝对收敛 ；
n =1 ∞ ∞ n =1 n =1
∞
∞
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 ∑ u n 条件收敛 .
n =1 n =1
Leibniz判别法: u n ≥ u n +1 > 0
n →∞
lim u n = 0
n 则交错级数 ∑ (−1) u n 收敛 n =1
18
∞
思考与练习
设 u n ≠ 0 (n = 1, 2 , 3 , ), 且 lim n = 1, 则级数 un ∞ → ∞ n 1 1 n (−1) ( + ) ( ). ∑ un un+1 n =1
n −1
+ 10 n
n
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
4
用Leibniz 判别法判别下列级数的敛散性:
1)
收敛
∞
2) 收敛
3) 收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ∑ ; n =1 n
发散
1 2) ∑ ; n =1 n !
收敛
∞
n 3) ∑ n . n =1 10
12
例1. 证明下列级数绝对收敛 : 2 ∞ ∞ sin nα nn (1) ∑ 4 ; (2) ∑ (−1) n . e n =1 n =1 n
sin nα 1 证: (1) ∵ ≤ 4,而 4 n n ∴
1 ∑ n 4 收敛 , n =1
∞
∑
∞
∞
n =1
sin nα 收敛 4 n
sin nα 绝对收敛 . 因此 ∑ 4 n =1 n
u n = 2 vn − u n
n =1 ∞ ∞
n =1
∑ un 也收敛
9
∞
n =1
∑ un , ∑ 2 vn 收敛
n =1
注：1) 2)
∑u
n =1 ∞ n =1 ∞
∞
n
发散 ⇒ ∑ un 发散. 发散， ∑ un未必发散.
n =1 n n =1 ∞
∞
∑u
∑
n =1
n
例如：
(−1) 发散，而 n
n =1
例如 ：∑ (−1)
n =1 ∞
∞
n −1 1
n
为条件收敛 .
1 n −1 ∑ (−1) (n − 1)! , n =1
n =1
∑ (−1)
∞
n −1
n 均为绝对收敛. n 10
8
定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设
n =1
∑ un
∞
收敛 , 令
vn = 1 ( u n + u n ) ( n = 1 , 2 , ) 2 ∞ 显然 vn ≥ 0 , 且 vn ≤ u n , 根据比较审敛法 ∑ vn 收敛,