十五. 任意项级数收敛性判别法
判断∑a n 收敛性的线索: 1°a n 是否→0; 2°是否绝对收敛; 3°是否条件收敛. 绝对收敛判别方法: 对∑| a n | 用正项级数判别法. 注意∑|a n |发散时一般不能得到
∑a n 发散, 但|n
n a a 1+|或n n a ||≥1时∑| a n |和∑a n 都发散. a n 为连乘积时用检比法,和Raabe 法, a n 为n 次幂时考虑检根法和检比法, a n 单调时考虑积分法. 以上方法困难时考虑比较法(找a n 的阶或比较级数)、级数运算、收敛原理、定义、Cauchy 准则.
Leibniz 判别法 若a n ↓0, 则交错级数∑(-1)n +1a n 收敛, 其和s < a 1, 余项| R n | < a n +1. 证 s 2n = (a 1 - a 2 ) + (a 3 - a 4 ) + … + (a 2n -1 - a 2n ), s 2n +1 = a 1 - (a 2 - a 3 ) - … - (a 2n - a 2n +1) = s 2n + a 2n +1, 故s 2n ↑, s 2n +1↓, 且0 < s 2n < s 2n +1< a 1 , lim s 2n 与lim s 2n +1存在, lim (s 2n +1- s 2n ) = 0. 因此∃s = lim s n , 且s < a 1. 又, | R n | = | (-1) n (a n +1 - a n +2 + a n +3 - … ) = a n +1 - a n +2 + a n +3 - … < a n +1.
Abel 变换 a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n = s 1 b 1 + (s 2 - s 1 ) b 2 + … + (s n - s n -1)b n = s 1 (b 1 - b 2 )
+ … + s n -1 (b n -1 - b n ) + s n b n =∑-=+-1
11)(n k k k k b b s + s n b n , 其中s n = a 1 + a 2 +…+ a n .
利用Abel 变换, 把∑a n b n 的收敛问题化为∑s n (b n - b n +1)与{s n b n }的收敛问题.
Di 法 {s n }有界, b n ↓0 (或↑0)⇒∑a n b n 收敛. (对积分:⎰t a f 有界,g ↓0⇒⎰b a fg 收敛.)
A 法 ∑a n 收敛, {b n }单调有界⇒∑a n a n 收敛. (积分:⎰b a f 收敛, g 单调有界⇒⎰b
a fg 收
敛.) 证 D 法: 设 | s n |≤M , 则s n b n ↓0,∑-=+-111|)(|n k k k k b b s ≤M ∑=n k 1(b k - b k +1) = M (b 1 - b n )≤
Mb 1, 故∑s n (b n - b n +1)绝对收敛. A 法: 设s n →s , | s n |≤M , b n ↓b , 则s n b n →sb ,∑-=+-111|)(|n k k k k b b s ≤M (b 1 - b n )≤M (b 1 -
b ).
注1. 用这三个判别法(L 法是D 法的特例)不能判断发散性. 当然, 如果已经用前面的方法得到∑| a n |发散, 用这三个方法就能判断∑a n 的条件收敛性, 但不能由此而误认为它们是条件收敛判别法
注2. 用D 法证A 法: ∑a n 收敛⇒{s n }有界; {b n }减、有界⇒∃b 使b n ↓b ⇒ b n - b ↓0. 由D 法, ∑a n (b n -b )收敛, 而∑ba n 收敛, 故∑a n b n 收敛. 类似地可证上册p.276.10.
*级数与广义积分 给定∑a n , 定义阶梯函数f :[1,∞)为f (x ) = a n (n ≤x <n +1), 则⎰+1n n f
= a n , ∑a n =⎰∞1f , ∑| a n | =⎰∞1||f , 故级数是特殊的无穷积分. 另一方面, 给定⎰b a f (b 是奇
点或∞),
⎰b a f =Heine lim ⇔=⎰→I f t a b t ∀ b n ↔[a , b ), b n →b : ⎰n b a n f lim = I (∑⎰⎰=-=n k b b b a k k n f f 1
1, b 0 = a ) ⇔∀ b n ↔[a , b ), b n →b : ∑⎰-n n b b f 1
= I . 因此广义积分可表示为级数: ⎰b a f =∑⎰-n n b b f 1( b n ↔[a , b ), b n →b , b 0 = a ).
当f >0时⎰t a f 关于t 增,⎰b a f =b t →lim ⎰t a f = I ⇔∃ b n ↔[a , b ), b n →b : lim ⎰n b
a f = I . 特别地, 有
⎰∞1f = I ⇔⎰+1n n f = I (f > 0).
例1. 考察下列级数的绝对收敛性和条件收敛性:
(1) ∑n n n 21)1(2
)1(+- (绝敛: | a n |≤n 21). (2) ∑(-1) n n n n )12100(++(绝敛:n n a ||→21). (3) ∑(-1) n 10+n n (条敛: | a n | ~n 1.2)100(2100)100(+-='+x x x x x <0 (x >100), | a n |↓0). (4) ∑(-1) n sin
n x (x > 0) (条敛: | a n | ~n x . n 充分大时0<n x <2π, sin n
x ↓0). 下面用到2个三角函数求和公式: 2sin 22cos )21cos(sin 1x x x n kx n
k -+=∑=, (*) 2sin 2)21sin(21cos 1x x n kx n k ++-=∑=, (**) 例2. 考察下列级数的绝对收敛性和条件收敛性:
(1) ∑(-1) n p n 1. p ≤0时a n ∣0, 发散. | a n | =p n 1, p >1时绝对收敛. p ≤1时∑| a n |发散,
0< p ≤1时由L 法收敛, 故条件收敛.
(2) ∑n n 2sin . 发散. ∑n n 2sin =21∑n 1-21∑n n 2cos . 前者发散, 后者由D 法收敛:
| cos 2 + cos 4 +… + cos 2n | = |1
sin 2121|1sin 2)12sin(21+≤++-n . (3) ∑n n sin . 条敛. | sin 1 + sin 2 + … + sin n | 2
1
sin 1≤, 由D 法收敛. 又, |n n sin |≥ n
n 2sin , 由上例, ∑|n n sin |发散. *(4) ∑(-1)n
n n 2sin . 条敛. (是交错级数, 但不能用L 法判断收敛性.) =21∑(-1) n n 1- 21∑(-1) n n n 2cos , 后者由D 法收敛: 在(**)式中以π - x 代x 得 ∑=n k 1(-1)k cos kx =2
cos 2))(21sin(21x
x n -++-π, ∴21cos 2121|2cos )1(|1+≤-∑=n k k k . 例3. 证明: 若a n ↓0, 则∀ x ↔(0, 2π) ∑a n sin nx 和∑a n cos nx 收敛.
证 |sin |1∑=n k kx |2sin 1≤ (x ↔(0, 2π)), 2
sin 2121|cos |1x kx n k +≤∑=(x ↔(0, 2π)), 用D 法. 条件收敛判断方法: 证∑| a n |发散后用L 、D 、A 法, 级数运算, R n →0等证∑a n 收敛. 例4. (p.24.1(3)) ∑n p n n 11
)1(+--. p ≤0时a n ∣0, 发散. | a n | ~ n -p , 故p >1时绝对收敛, 0<
p
≤1时∑| a n |发散. 为用L 法, 需考虑0< p ≤1时n p n 1+是否↑. 设 f (x ) =x
p x 1+(x ≥1), 则
ln f (x ) = (p +x 1) ln x , 2ln 1)()(x
x px x f x f -+=', x 充分大时f ' (x ) > 0, 故n 充分大时n p n 1+↑, 由L 法收敛, 从而0 < p ≤1时条件收敛. 或用A 法: 0 < p ≤1时∑p n n 1)1(--收敛, n n ≥1,↓(n >2时n n >11++n n ⇔n n +1> (n +1) n
⇔ n > (1+n
1)n , 或仿上用导数). *例5. (级数运算判敛) a n = ln ( 1 +p n n )1(-). p ≤0时a n ∣0, ∑a n 发散. 设p >0. 由| a n | ~ |p n n )1(-| =p n 1, p > 1时∑a n 绝对收敛, 0 < p ≤1时∑| a n |发散. 由x - ln (1 + x ) ~21x 2(x →∞), 得p n n )1(-- a n ~ p
n 221, 故∑(p n n )1(-- a n )当且仅当p >21时收敛, 从而∑a n = ∑p n n )1(-- ∑(p
n n )1(-- a n )当且仅当p >21时收敛. 结论: p ≤21时发散, 2
1< p ≤1时条件收敛, p > 1时绝对收敛.。