第19讲（数列单调性、奇偶项、存在性问题）【目标导航】中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查．明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法． 【例题导读】例1、设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零等差数列，满足2369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等差数列，（i ）求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++； （ii ）是否存在正整数,m n ，使12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭（2）13144323n n n n T -=--⋅⋅（i ）（ii ）(9,2)及(3,3)． 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，则由条件369a a a +=， 可得()()111258a d a d a d +++=+，1a d ∴=，又由25796a a a +=，可得()()()21114668a d a d a d +++=+，将1a d =代入上式得254954d d d +=，24949d d ∴=01n d d a n ≠∴=∴=Q ，由423n n S b += ①当2n ≥时，11423n n S b --+= ②①-②得：14220n n n b b b -+-=，11(2)3n n b b n -∴=≥， 又111142302b b b +=∴=≠，{}n b ∴是首项为12，公比为13的等比数列，故()1*1123n n b n N -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫∴==∈ ⎪⎝⎭．（2）①在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,,n n nn x x x K ， 因为121,,,,,n n n nn n b x x x b +K 成等差数列，设公差为n d ，则11111112323(2)113(1)n n n n n n b b d n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-+-++， 则111233(1)n nk n n nk x b kd n -⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭，11111(1)233(1)23n nnk nn k n n nx n n -=+⎛⎫∴=⋅-⋅= ⎪+⎝⎭∑， 11212212211333n n n nn n nT x x x x x x ∴=+++++++=+++L L L ①则231111133333n n n n nT +-=++⋯++ ② ①-②得：2111111332111111133333323313nnn n n nn n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++-=-=--⎪⎝⎭-L ， 13144323n n n n T -∴=--⋅⋅， ②若12m n m a T a +=，因为n a n =，所以m a m =，则13111144323222n nn m m m-+--==+⋅⋅， 1111443232n n n m ---=⋅⋅，从而3321432n n n m--=⋅， 故()23234623462323323323n n n n n n n n m n n n --++⋅+===+------， 当1n =时，*10232m N =+=-∉-， 当2n =时，*14292m N =+=∈，当3n =时，*213m N =+=∈，下证4(*)n n N ≥∈时，有32346n n n -->+，即证3690n n -->，设()369(4)x f x x x =--≥，则4()3ln 3636360x x f x '=->-≥->，()f x ∴在[4,)+∞上单调递增，故4n ≥时，43693649480n n -->-⨯-=>，即4601323nn n +<<--， 从而4n ≥时，m 不是整数，故所求的所有整数对为(9,2)及(3,3)．例2、有限个元素组成的集合为{}12,,,n A a a a =L ，*n N ∈，集合A 中的元素个数记为()d A ，定义{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +的个数记为()d A A +，当()()()()12d A d A d A A ⋅++=，称集合A 具有性质Γ．（1）设集合{}1,,M x y =具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由； （2）设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足1123n n S S +=+，其中113d =，数列{}n d 中的前2020项：1232020,,,,d d d d L 组成的集合{}1232020,,,,d d d d L 记作D ，将集合D D +中的所有元素()*123,,,,k t t t t k N ∈L 从小到大排序，即123,,,,k t t t t L 满足123k t t t t <<<<L ，求2020t ；（3）已知集合{}12,,,n C c c c =L ，其中数列{}n c 是等比数列，0n c >，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由． 【解析】（1）集合M 中的三个元素不能组成等差数列，理由如下： 因为集合{}1,,M x y =具有性质Γ，所以()()()()162d M d M d M M ⋅++==，由题中所给的定义可知：M M +中的元素应是：2,1,1,2,2,x y x y x y +++这6个元素应该互不相等，假设M 中的三个元素能构成等差数列，不妨设1,,x y 成等差数列，这时有21x y =+这与集合元素集合中的6个元素互不相等矛盾，其它二种情况也是一样，故M 中的三个元素不能能构成等差数列；（2）11112(*)2(**)(2,)33n n n n S S S S n n N *+-=+⇒=+≥∈，(**)(*)-得：12n n d d +=，说明数列从第二项起，数列{}n d 是等差数列，因为1123n n S S +=+，113d =，所以有121212233d d d d +=+⇒=，所以22()23n n d -=⋅，显然113d =也成立，因此1222()2()33n n n d n N --*=⋅=∈．所以21998199912222,,,,,33333D ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭L 121121121222222221333m n n m n n m n m n n d d d m n ---------+<⇔+<⇔+<⇒<⇒<-，显然11(,)m n m n N *≤<-∈根据定义在n d 之间增加的元素个数为：(1)(1)(2)(3)212n n n n n --+-+-+++=L ，这样包括n d 在内前面一共有(1)(1)22n n n n n -++=个元素． 当63n =时，包括63d 在内前面共有2016个，显然不到第2020个数，所以只有当64n =时，能找到因此3636320204642228333t d d +=+=+=； （3）集合C 具有性质Γ，理由如下：设等比数列{}n c 的公比为q ，所以通项公式为：1110)(n n a a q a ->=，q 为有理数．设假设当1234n n n n <<…时，1423n n n n c c c c +=+成立，则有314211111111n n n n a q a q a q a q ----+=+，3141211n n n n n n q q q ---=+-因为q 为有理数，所以设mq n=(,)m n N *∈且,m n 互质，因此有 313143412141244241()()()1n x n n n x n x n n n n n n n n x n m m mm m n m n n n n n---------=+-⇒=⋅+⋅-， 式子的左边是m 的倍数，右边是n 的倍数，而,m n 互质，显然1423n n n n c c c c +=+不成立，因此C C +集合中的元素个数为：(1)(1)(2)212n n n n n ++-+-+++=L ，因此它符合已知所下的定义，因此集合C 是否具有性质Γ．例3、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*241n n n a a S n N+=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21211n n n n a b S S -++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围；（3）若()211,22,n n na n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数()*n N ∈，从数列{}n c 中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列． 【解析】（1）当1n =时，由2241n n n a a S +=-，得2111241a a a +=-，得11a =， 由2241n n n a a S +=-，得2111241n n n a a S ++++=-，两式相减，得22111224n n n n n a a a a a +++-+-=，即()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=因为数列{}n a 各项均为正数，所以10n n a a ++>，所以12n n a a +-= 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．因此，12(1)21n a n n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，所以2(121)2n n n S n +-==所以22212112(21)(21)n n n n a n b S S n n -++==⋅-+221114(21)(21)n n ⎡⎛⎤=-⎢ ⎥-+⎝⎦⎣ 所以222222246133557n T =++⨯⨯⨯222(21)(21)n n n ++-+L 2222222111111111433557(21)(21)n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭L 21114(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦， 令21()1(21)f n n =-+，则(1)()f n f n +-=2222118(1)0(21)(23)(23)(21)n n n n n +-=>++++， 所以()f n 是单调递增数列，数列{}n T 递增，所以129n T T ≥=，又14n T <，所以n T 的取值范围为21,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭．（3）2,212,2n n n n k c n k=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，设奇数项取了s 项，偶数项取了k 项，其中s ，*k N ∈，2s ≥，2k ≥．因为数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数． 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，()21pi j p ≤<<，则1122222i j i j --+=+为奇数，而1i ≥，2j ≥，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以1i =．又1122222j p j p --+=+为奇数，而2j ≥，3p ≥，则12j -与12p -均为偶数，矛盾．又因为2k ≥，所以2k =，即偶数只有两项， 则奇数最多有3项，即s k +的最大值为5．设此等差数列为1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，则1d ，3d ，5d 为奇数，2d ，4d 为偶数，且22d =． 由13224d d d +==，得11d =，33d =，此数列为1，2，3，4，5． 同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1． 例4、已知n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足()112n n n T b n n b +=++，且12a b =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设nn na cb =，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，j c （1i j ≤<，i ，j *∈N ），使i j c c +仍是数列{}n c 中的项?若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足()112n n n T b n n b +=++，∴11b =，22b =， 由11n n S a a +=-，得()112n n S a a n -=-≥． ∴()122n n a a n -=≥，且121a a a =-，即212a a =．∴数列{}n a 是首项为122a b ==，公比为2的等比数列，∴2nn a =．（2）∵()112n n n T b n n b +=++① 2n ≥时，()()11111112n n n T b n n b ---+=-+-+②①-②得()1111111222n n n n n b b b nb n b --+-=++--，∴()114231n n n n b b nb n b ---=+--，()()1433n n n b n b ----=-，3n ≥时，()()12543n n n b n b -----=-，∴()()()214428n n n n b n b n b ---+-=-，∴212n n n b b b --+=，∴{}n b 为等差数列，∴()111n b n n =+-⋅=．（3）2n n c n=，假设{}n c 中存在不同的两项i c ，j c （1i j ≤<），使i j k c c c +=（k *∈N ）222i j k i j k ⇒+=， 注意到()()()()11121212220111n nn n n n n n n n c c n n n n n n +++⋅-+⋅-⋅-=-==≥+++． ∴{}n c 单调递增，由22k jk j k j>⇒>，则1k j ≥+，∴()()11222211jk j i j k j i j j +-≥⇒≥++，令j i m -=（m 1≥），∴j m i =+，∴()()()()()112211111j ij j m i m i m i j i m i i m i -++++⎛⎫⎛⎫≤==++ ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，∵2m i +≥，∴2131m i +≤+-，而11m m i +≤+，∴()231mm ≤+，231m m≤+．令21nn C n =+，则()()()()()()11121222220211212n n n n n n n n n n C C n n n n n n ++++-+⋅-=-==>++++++， ∴{}n C 为单调递增，注意到3m =时，322313=<+，42163145=>+，∴m 只能为1，2，3．①当1m =时，11j i j i -=⇒=+，∴()()222212323221i i i i i i i i ++++≤==++，故i 只能为1，2，3，当1i =时，2j =，此时242442k k k =+=⇒=；当2i =时，3j =，此时2814233k k =+=无整数解，舍；当3i =时，4j =，此时2820433k k =+=，无正整数解，舍去． ②当2m =时，2j i =+，此时()()()2222346233601i i i i i i i i i+++≤⇒≥⇒--≤++，∴1i =，此时3j =，2814233k k =+=⇒无解；③当3m =时，3j i =+，此时()()()222348712816791202i i i i i i i i i i ++≤⇒++≥+⇒+-≤+，无正整数解，舍去．综上：存在1i =，2j =满足题意．例5、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，对任意正整数n ，总存在正数,,p q r 使得1n n a p -=，n n S q r =-恒成立：数列{}n b 的前n 项和n T ，且对任意正整数n ，2n n T nb =恒成立． （1）求常数,,p q r 的值； （2）证明数列{}n b 为等差数列； （3）若12b =，记31222224n n n n n b n b n b P a a a +++=++ 1212222n n n n n nn b n b a a ---+++⋯++，是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，n P k ≤恒成立，若存在，求正整数k 的最小值，若不存在，请说明理由． 【解析】∵,p q 为正数 ∴2p q ==．又∵11a =，1S q r =-，且11a S = ∴1r =．（2）∵2n n T nb =③∴当2n ≥时，()1121n n T n b --=-④，∴③-④得： ()121n n n b nb n b -=--，即()()121n n n b n b --=-⑤， 又∵()11n n n b nb +-=⑥∴⑤+⑥得： ()()()112211n n n n b n b n b -+-=-+-，即112n n n b b b -+=+ ∴{}n b 为等差数列．（3）∵10b =，22b =，由（2）知{}n b 为等差数列 ∴22n b n =-．又由（1）知12n n a -=，∴122222n n n n n P -+=+ 2322444222n n n n ----+++L ， 又∵1222n n n P ++=++L 232221244424422222n n n n n n n n -----++++， ∴121214422222n n n n n n n nP P +--+-=+- 122424n n n n +-⋅=， 令10n n P P +->得122420n n n +-⋅>， ∴61123422n n n n+<=+<，解得1n =， ∴1n =时，10n n P P +->，即21p P >， ∵2n ≥时，24n≥，1342n+< ∴1612322n n n n+>+=，即122420nn n +-⋅<． 此时1n n P P +<，即234p p p >>>L ，∴n P 的最大值为2222227222n P ⨯⨯+=+= 若存在正整数k ，使得对任意正整数n ，n P k ≤恒成立，则max 72k P ≥=， ∴正整数k 的最小值为4．例6、定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中131,7b b ==（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“()M q 数列”，并说明理由；（3）若数列{}n b 是“(2)M 数列”，是否存在正整数,m n ，使得4039404020192019m n b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ；若不存在，请说明理由． 【解析】【分析】（1）计算21323,3b b b b -=-=，故{}1n n b b +-是公比为1的等比数列，计算得到答案；（2）{}n b 是“()M q ”数列，化简得到1122n n n b b b +-=-，即()2113n n n n b b b b +++-=-，得到证明；（3）{}1n n b b +-是公比为2的等比数列，12n n n b b +-=，利用累加法得到21nn b =-，得到1m n =+，计算得到答案．【详解】（1）由题意可得21323,3b b b b -=-=，由数列{}n b 为“()M q 数列”可得()3221b b q b b -=-，即1q =，则{}1n n b b +-是公比为1的等比数列，即21*13,n n b b b b n N +-=-=∈，则{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，32n b n =-； （2）{}n b 是“()M q ”数列，，理由如下：2n ≥时，由1122n n b S n λ+=-+，可得112(1)2n n b S n λ-=--+， 两式作差可得1122n n n b b b +-=-即113,22n n b b n +-=-≥，则21132n n b b ++-=-，两式作差可得21133n n n n b b b b +++-=-，即()2113,2n n n n b b b b n +++-=-≥，由32313,72b b b -=-=，可得252b =，则()3221933322b b b b -==⨯=-， 则()2113n n n n b b b b +++-=-对任意*n N ∈成立，则{}1n n b b +-为首项是32，公比为3的等比软列，则{}n b 为()M q 数列；（3）由{}n b 是(2)M 数列，可得{}1n n b b +-是公比为2的等比数列， 即()11212n n n b b b b -+-=-，则()32212b b b b -=-，由131,7b b ==，可得23b=，则12n n n b b +-=，则()()()2112132122222n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-=+++=-L L ，则21nn b =-，若正整数,m n 满足4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019m n -<<-， 由210,210n m ->->，则2121m n ->-，则m n >，若2m n ≥+，则22121344212121m n n n n +--≥=+>---，不满足40392140402019212019m n -<<-， 若1m n =+，则140392140402019212019n n +-<<-，则403914040222019212019n -<<--，即1122019212019n <<-， 则2021220202n <<，则正整数10n =，则11m =； 因此存在满足条件的,,11,10m n m n ==．例7、设数列A ：1a ，2a ，…N a (N ≥)．如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合． （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2，3，…，N ），则)(A G 的元素个数不小于N a -1a ． 【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解析；（3）详见解析． 【解析】（3）当1a a N ≤时，结论成立．只要证明当1a a N >时仍然成立即可． 试题解析：（1）)(A G 的元素为2和5．（2）因为存在n a 使得1a a n >，所以{}∅≠>≤≤∈*1,2a a N i N i i ． 记{}1,2min a a N i N i m i >≤≤∈=*，则2≥m ，且对任意正整数m k a a a m k <≤<1,． 因此)(A G m ∈，从而∅≠)(A G ． （3）当1a a N ≤时，结论成立． 以下设1a a N >． 由（Ⅱ）知∅≠)(A G ．设{}p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(，记10=n ． 则p n n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<210．对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记{}i n k i i a a N k n N k G >≤<∈=*,．如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1． 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m ．又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G ． 从而对任意n k n p ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤． 对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0．因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a ． 所以p a aa a a a i ip n pi n n N ≤-=-≤--∑=)(1111．【反馈练习】1．已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n ∈N ，都有11(0)n n a ka k +=-≠，数列{}1n a -是公比不为1的等比数列．（1）求实数k 的值； （2）设4,,1,,n n n n b a n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221m m S S -恰好为数列{}n b 中的项．【答案】（1）2；（2）2． 【解析】（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--， 因为{1}na -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或43k =， 当43k =时，143(3)3n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；当2k=时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}na -的公比1121n n a q a +-==-， 所以实数k 的值为2．（2）由（1）知12nn a -=，所以4,,2,,n nn n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+L2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++L L144(4)3m m m +-=-+，则212244(4)3m m m mS S b m m --=-=-+，因为22+1324m m m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->， 且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设2210,mt m S b t S -=>∈*N ， 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，①当2121=mm S b S -时，144(4)3344(4)3m mm m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤，即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3， 验证2173S S =，433S S =，658723S S =得，当2m =时，413S b S =成立．②当t 为偶数时，1222144(4)331443124(4)134m mmm mm m S S m m m m +---+==+--+--++， 设231244m m m m c -+-=，则211942214m m m m m c c ++-+-=，由①知3m >，当4m =时，545304c c --=<； 当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<L ，所以m c 的最小值为5191024c -=， 所以22130151911024m m S S -<<+<-+，令22214m m S b S -==，则2314312414mm m +=-+-+， 即231240m m -+-=，无整数解． 综上，正整数m 的值为2．2．已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：对任意的*n N ∈，都有1n a +=n n b c -，1n b +=n n c a -，1n c +=n n a b -．记n d ={},,n n n max a b c ({},,max x y z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值)．(1)若1a =1，1b =2，1c =4，求4a ，4b ，4c 的值； (2)若1a =1，1b =2，求满足2d =3d 的1c 的所有值；(3)设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1a ，1b ，1c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．【答案】（1）4a =0，4b =1-，4c =1．（2）2-，1-，1，2．（3）见详解 【解析】（1）由题意：2a =11b c -=24-=2-；2b =11c a -=41-=3；2c =11a b -=12-=1-；以此类推，看得出4a =0，4b =1-，4c =1．（2）若1a =1，1b =2，1c =x ，则2a =2x -，2b =1x -，2c =1-，，3a =11x --，3b =12x --，3c =21|x x ---，当01x ≤<时，3a =x -，3b =1|x -，3c =1，3d =1，由3d =2d ，得|x =1，不符合题意． 当12x ≤<，3a =2x -，3b =1x -，3c =32x -，，由3d =2d ，得x =1，符合题意．当2x ≥，3a =2x -，3b =3x -，3c =1-，由3d =2d ，得x =2，符合题意， 综上1c 的取值是：2-，1-，1，2．（3）先证明：存在正整数3k ≥，使，k a ，k b ，k c 中至少有一个为零， 假设对任意正整数3k ≥，k a ，k b ，k c 都不为零，由1a ，1b ，1c 是非零整数，且1a ，1b ，1c 互不相等，得1*d N ∈，*2d N ∈，若对任意3k ≥，k a ，k b ，k c 都不为零，则*k d N ∈．即对任意1k ≥，*k d N ∈． 当1k ≥时，1k a +={}|,k k k kkb c max b c d -<≤，1k b+=k k k c a d -<，1k c +=k k k a b d -<，所以1k d +={}111,,k k k k max a b c d +++<，所以{}k d 单调递减，由2d 为有限正整数，所以必存在正整数3m ≥，使得0m d ≤，矛盾，所以存在正整数3k ≥，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为零，不妨设k a =0，且10a ≠，20a ≠…10k a -≠，则1k b -=1k c -，且1k b -=11k k c a --≠， 否则若1k b -=1k c -=1k a -，因为111k k k a b c ---++=0， 则必有1k a -=1k b -=1k c -=0，矛盾．于是，k b =110k k c a ---≠，k c =110k k a b ---≠，且k b =k c -，所以，1k a +=0，1k b +=k c ，1k c +=k b -=k c -，以此类推，即有：对n k ∀≥，n a =0，1n b +=k c ，1n c +=k c -，0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自k 项起各项均为0． 综上：结论成立．3．对于项数为m （*m ∈N 且1m >）的有穷正整数数列{}n a ，记{}12min ,,,k k b a a a =⋅⋅⋅(1,2,,)k m =⋅⋅⋅，即k b 为12,,,k a a a ⋅⋅⋅中的最小值，设由123,,,,m b b b b ⋅⋅⋅组成的数列{}n b 称为{}n a 的“新型数列”． （1）若数列{}n a 为2019，2020，2019，2018，2017，请写出{}n a 的“新型数列”{}n b 的所有项；（2）若数列{}n a 满足101,6222,7n n n a n n -⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，且其对应的“新型数列”{}n b 项数[21,30]m ∈，求{}n b 的所有项的和；（3）若数列{}n a 的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的{}n a 及其对应的“新型数列”{}n b ．【答案】（1）数列{}n b 为2019，2019，2019，2018，2017（2）1128（3）满足题意的数列{}n a ：1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1．所以对应的“新型数列”{}n b 分别为：1,1,1;1,1,1;2,1,1;2,2,1;3,1,1;3,2,1．【解析】（1）数列{}n b 为2019，2019，2019，2018，2017；（2）由已知得：当6n ≤时，{}n a 关于n 递减；当7n ≥时，{}n a 关于n 递减， 又67,a a >*n N ∴∈时，{}n a 关于n 递减．*N n a ∈Q ，21m ∴≤．又[21,30]m ∈，21m ∴=．{}n b ∴共21项且各项分别与{}n a 中各项相同，其和为262111110241024102415141222T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭611115(151)2210241212⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+-1128=． （3）先不妨设数列{}n a 单调递增，当2m =时，*12,a a N ∈，121222a a a a a +=<，12,a ∴<11a =，此时无解，不满足题意；当3m =时，由123123a a a a a a ++=得12312333a a a a a a a ++=<，123a a ∴<，又12a a <，11,a ∴=22a =，代入原式得33a =．当4m ≥时，1212n n m a a a a a a ma ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅<， 而12(1)!m m m a a a m a ma ⋅⋅⋅≥->，矛盾， 所以不存在满足题意的数列{}n a ．综上，满足题意的数列{}n a ：1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1． 所以对应的“新型数列”{}n b 分别为：1,1,1;1,1,1;2,1,1;2,2,1;3,1,1;3,2,1．5．设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N ．【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32nn b =⨯（Ⅱ）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ． 依题意得()()262426262424124q d d q d d ⎧=+-=+⎪⎨=++=+⎪⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩， 故4(1)331n a n n =+-⨯=+，16232n nn b -=⨯=⨯．所以，{}n a 的通项公式为31n a n =+，{}n b 的通项公式为32nn b =⨯．(Ⅱ)(i )()()()()22211321321941n n n nnnn a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-．所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n na c -=⨯-．(ii )()22111nni i i i i i i a c a a c ===+-⎡⎤⎣⎦∑∑()2222111nni i i i i a a c ===+-∑∑()2212432n nn ⎛⎫- ⎪=⨯+⨯ ⎪⎝⎭()1941n i i =+⨯-∑ ()()2114143252914n n n n---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n N --=⨯+⨯--∈．5．已知数列{a n }满足：a 1＝1，且当n ≥2时，11(1)()2nn n a a R λλ---=+∈（1）若λ＝1，证明数列{a 2n -1}是等差数列；（2）若λ＝2．①设223n nb a =+，求数列{bn }的通项公式；②设2113ni n i Cn a n ==⋅∑，证明：对于任意的p ，m ∈ N *，当p > m ，都有p C ≥ C m ． 【答案】（1）证明见解析；（2）①243nn b =⋅；②证明见解析 【解析】（1）证明：当1λ=时，()1112nn n a a ---=+，()2+12+1221112n n n n a a a --∴=+=+①，()222121112n n n n a a a ----=+=②，则①+②得21211n n a a +--=， 当1n =时，11a =，{}21n a -∴是首项为1，公差为1的等差数列 （2）①当2λ=时，()11122nn n a a ---=+，当2n =时，()22111222a a --=+=， ()2222212111222n n n n a a a ++++--∴=+=①，()212122112212n n n n a a a ++--=+=+②，①+②2⨯得22242n n a a +=+，22222433n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭，即14n n b b +=， 122282333b a =+=+=Q ， {}n b \是首项为83，公比为4的等比数列，1824433n n n b -∴=⋅=⋅②由（2）①知()22413nn a =-，同理由212221212n n nn a a a a +-=+⎧⎨=⎩可得212141n n a a +-=+，212111433n n a a +-⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭， 当1n =时，11141333a +=+=， 2113n a -⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭是首项为43，公比为4的等比数列，12114144333n n n a --∴+=⋅=⋅，()211413nn a -∴=- ()()213212421ni n n i a a a a a a a -=∴=+++++++∑L L()()()()()481414248433414141143143993n n n n n n n n n--=-+-=-+--=----， 1111444343333n n n n n n C n n n +++⎛⎫--∴=--= ⎪⋅⋅⎝⎭，()()211214314434133n n n n n n n n C C n n +++++-+----=-+⋅⋅ ()()()()21243143143413n n n n n n n n n +++⎡⎤-+--+--⎣⎦=+⋅()()122346681213n n n n n n n n ++-++++=+⋅()()122346141213n n n n n n n ++-⋅+++=+当1n =时，21321661412023C C -⨯+++-==⨯；当2n =时，213642428120233C C -+++-==⨯⨯； 当3n ≥时，10n n C C +->，∴对于一切n *∈N ，都有1n n C C +≥，故对任意,p m N *∈，当p m >时，p m C C ≥6.对于*,n N ∀∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”．（1）已知数列1，21,m m +是“K 数列”，求实数m 的取值范围；（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”，且其前n 项和n S 使得212n S n n <-恒成立?若存在，求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”，数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，若1,1n n a b n +=+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”，并说明理由． 【答案】（1）2m >；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（Ⅰ）由题意得()111,m +->()211,m m -+>解得2,m >所以实数m 的取值范围是 2.m >（Ⅱ假设存在等差数列{}n a 符合要求，设公差为,d 则1,d > 由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+由题意，得()21122n n n d n n --+<-对*n N ∈均成立，即()1.n d n -< ①当1n =时，;d R ∈ ②当1n >时，,1n d n <- 因为111,11n n n =+>-- 所以1,d ≤与1d >矛盾， 所以这样的等差数列不存在．（Ⅲ）设数列{}n a 的公比为,q 则11,n n a a q -=因为{}n a 的每一项均为正整数，且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->> 所以在{}1n n a a --中，“21a a -”为最小项． 同理，11122n n a a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭中，“211122a a -”为最小项． 由{}n a 为“K 数列”，只需211,a a ->即()111,a q -> 又因为12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，且211122a a -为最小项， 所以21111,22a a -≤即()112a q -≤， 由数列{}n a 的每一项均为正整数，可得()112,a q -= 所以11,3a q ==或12, 2.a q ==①当11,3a q ==时，13,n n a -=则3,1nn b n =+令()*1,n n n c b b n N+=-∈则()()133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++又()()()()12321332312n n n n n n n n +++⋅-⋅++++()()234860,213n n n n n n ++=⋅>+++ 所以{}n c 为递增数列，即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅> 所以213331,22b b -=-=> 所以对于任意的*,n N ∈都有11,n n b b +->即数列{}n b 为“K 数列”．②当12,2a q ==时，2,nn a =则12.1n n b n +=+因为2121,3b b -=≤ 所以数列{}n b 不是“K 数列”．综上：当11,3a q ==时，数列{}n b 为“K 数列”，当12,2a q ==时，2,nn a =数列{}n b 不是“K 数列”．7.数列{}n a 满足112n n n a a a +-=-对任意的*2,n n N ≥∈恒成立，n S 为其前n 项的和，且44a =，836S =． （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）数列{}n b 满足()12122321213212nn n k n k n n b a b a b a b a a --+-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=--，其中*1,2,,,=⋅⋅⋅∈k n n N ．①证明：数列{}n b 为等比数列；②求集合()*3,,,.p m m p a a m p m p N b b ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭【答案】（1）*,n a n n N =∈；（2）①过程见详解；②(){}6,8．【解析】（1）因为数列{}n a 满足112n n n a a a +-=-对任意的*2,n n N ≥∈恒成立，所以数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，因为44a =，836S =，所以1134878362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得：111a d =⎧⎨=⎩， 因此*,n a n n N =∈；（2）①因为数列{}n b 满足()12122321213212nn n k n k n n b a b a b a b a a --+-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=--，()()1221(23)3212-+-+⋅⋅⋅+=--n n b n b n b n ，所以()()1121(23)2532122---+-+⋅⋅⋅+=--+n n b n b n b n （*2,n n N ≥∈），两式作差可得：()11212322--++⋅⋅⋅++=⋅-n n n b b b b （*2,n n N ≥∈），又()113212=--b a 也满足上式，所以()11212322--++⋅⋅⋅++=⋅-n n n b b b b ()*n N ∈，记数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则12322--=⋅-n n n T b ，当2n ≥时，2112322----=⋅-n n n T b ，两式作差可得：2132n n n b b --+=⋅，所以()12101122(1)(2)0-----=--=⋅⋅⋅=--=n n n n n b b b ，即()121011122(1)(2)(1)(11)0------=--=⋅⋅⋅=--=--=n n n n n n b b b ，所以12n n b -=，因此12n nb b +=，即数列{}n b 为等比数列； ②由3p m m p a a b b =得11322m p m p --=，即32p mp m-=， 记n n n a c b =，由①得12-=n n n c ，所以1112++=≤n n c n n c ，因此1n n c c +≥（当且仅当1n =时等号成立）．由3pm m pa ab b =得3=>m p pc c c ，所以<m p ． 设(,,)*=-∈t p m m p t N ，由32p mp m-=得3()2+=tm t m ，即323t t m =-；当1t =时，3m =-，不符合题意； 当2t =时，6m =，此时8p =符合题意；当3t =时，95m =，不符合题意； 当4t =时，1213m =，不符合题意，下面证明当4t ≥，*t N ∈时，3123=<-t tm ， 不妨设()233(4)=--≥xf x x x ，则()2ln 230'=->xf x 在[)4,+∞上恒成立，所以()f x 在[)4,+∞单调递增； 所以()(4)10≥=>f x f ， 所以，当4t ≥，*t N ∈时，3123=<-t tm 恒成立，不符合题意； 综上，集合()(){}*3,,,6,8p m m pa a m p m p Nb b ⎧⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭． 8.给定数列{}n a ，若满足1a a =（0a >且1a ≠），对于任意的*,n m ∈N ，都有m n n m a a a +=，则称数列{}n a 为“指数型数列”．（1）已知数列{}n a 的通项公式为4nn a =，试判断数列{}n a 是不是“指数型数列”；（2）已知数列{}n a 满足112a =，()*1123n n n n a a a a n ++=+∈N ，证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，且()*112a a a a +=∈+N ，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列． 【答案】（1）是；（2）是，理由详见解析；（3）详见解析． 【解析】（1）数列{}n a ，444n mn m n m n m a a a ++==⨯=，所以数列{}n b 是“指数型数列”（2）数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列”11111311232131n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫=+⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭，所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列， 11111133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，111113331m n n m n n n m a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++===+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列” （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，由定义得：11112nn n mn m n n n a a a a a a a a a a +++⎛⎫=⇒=⇒== ⎪+⎝⎭假设数列{}n a 中存在三项s a ，t a ，u a 成等差数列，不妨设s t u <<则2t s u a a a =+，得：11122222t s ut s u a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：2(1)(2)(2)(1)t su s u s u s a a a a ----++=+++（*）若a 为偶数时，右边为偶数，(1)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立； 若a 为奇数时，右边为偶数，(2)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；所以，对任意的*a ∈N ，（*）式不成立．9.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”．（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5．【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0．由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”．（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =．由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n N ∈．②由①知，b k =k ，*k N ∈．因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0． 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m ．当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e ．列表如下：f （x ） 极大值因为2663=<=，所以max ()(3)3f k f ==． 取33q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6． 综上，所求m 的最大值为5．10．对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一 项，把i a 或()2,3,4,...,i a i n -=作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列 1,2,3,4,5的一个生成数列是1,2,3,4,5--．已知数列{}n b 为数列()12n n N *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和． （1）写出3S 的所有可能值； （2）若生成数列{}n b 满足311178n n S ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求数列{}n b 的通项公式． 【答案】（1）1357,,,8888；（2）1,322()1,322n n nn k b k N n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨⎪-≠-⎪⎩． 【解析】（1）由已知，()1231111,,2,,2248n n b b n N n b b *==∈≥∴=±=±，由于31117111511131111,,,,2488248824882488S ++=+-=-+=--=∴可能值为 1357,,,8888． （2）311178n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Q ，当1n =时，12331111788a a a S ⎛⎫++==-= ⎪⎝⎭．当2n ≥时， 323133331111111178788n n n n n nn n a a a S S ----⎛⎫⎛⎫++=-=---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}323131,,8n n n n n a a a n N b *--∴++=∈Q 是()12n n N *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的生成数列，323133231332313111;;,222n n n n n n n n nb b b b b b ------∴=±=±=±∴++()()323131111142122288n n n n n n N *--=±±±=±±±=∈，在以上各种组合中，当且仅当()32313421,,888n n n n n n b b b n N *--==-=-∈时才成立．1,322()1,322n n nn k b k N n k *⎧=-⎪⎪∴=∈⎨⎪-≠-⎪⎩．。