郑州轻工业学院2014-2015学年第一学期 高等数学A1 试卷A一、单项选择题(每题3分，共15分)1．1x =为函数21()1x f x x -=-的（ ） (A) 可去间断点；(B)无穷间断点；(C)跳跃间断点；(D)震荡间断点．2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'()0f x =的实根的个数为（ ）(A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5．3．极限x x x 121(lim ）+→的值是（ ） (A) e ； (B)e1； (C)2-e ； (D)2e ． 4．若函数)(x f 在区间),(b a 内满足0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),(b a 内（ ）．(A) 单调减、凹曲线； (B)单调减、凸曲线；(C) 单调增、凹曲线； (D) 单调增、凸曲线．5．设22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（ ） (A) 22x xe ； (B) 22(1)x xe x +； (C) 2(2)x xe x + ； (D) 222x x e .二、填空题(每题3分，共15分)1．设lnsin y x =，则dy dx=__________． 2．若点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则______,_______a b ==．3. 曲线22132x y x x -=-+水平渐近线为_________，铅直渐近线为_________． 4．设52x y x e =+，则(2015)(0)y =______________．5．3cos x dx =⎰________________．三、计算题 (每题6分，共36分)1．求极限：20sin 1lim x x e x x→--． 2．求函数32()26187f x x x x =--+的单调区间及极值．3．若函数()y y x =由方程sin y e xy x e ++=所确定，求0|x dy =．4．求曲线sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程． 5．求不定积分：x x e dx ⋅⎰． 6．求不定积分：．四、解答题（本题7分）设1,0()sin ,0x e x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，求'()f x ．五、证明题（每题7分，共14分）1．证明：当1x >时，x e e x >⋅．2．证明方程0133=+-x x 在)1,0(内仅有一个实根．六、应用题（本题8分）将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转一周构成一个圆柱体，当矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？七、综合分析题（本题满分5分）设函数()sin f x x b x =-，且30()lim x f x a x→=，求常数a 、b 的值．2014-2015学年第一学期 高等数学A1 试卷A 参考答案试卷号：A20150114-2一、单项选择题(每题3分，共15分)1．1x =为函数21()1x f x x -=-的（ A ） （A ） 可去间断点； （B ）无穷间断点； （C ）跳跃间断点； （D ）震荡间断点．2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'()0f x =的实根的个数为（ C ）（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5．3．极限x x x 121(lim ）+→的值是（ D ） （A ）e ； （B ）e1； （C ）2-e ； （D ）2e ． 4．若函数)(x f 在区间),(b a 内满足0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),(b a 内（ D ）．(A) 单调减、凹曲线； (B)单调减、凸曲线；(C) 单调增、凹曲线； (D) 单调增、凸曲线．5．设22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（ B ） (A) 22x xe ； (B) 22(1)x xe x +； (C) 222x x e ； (D) 2(2)x xe x +.二、填空题(每题3分，共15分)1．设lnsin y x =，则dy dx= cot x ． 2．若点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则a =32-，b = 92． 3. 曲线22132x y x x -=-+水平渐近线为1y =，铅直渐近线为2x =．4．设52x y x e =+，则(2015)(0)y = 20152．5．3cos x dx =⎰ 31sin sin 3x x C -+．三、计算题 (每题6分，共36分)1．求极限：20sin 1lim x x e x x →--． 解：原式0cos lim 2x x e xx →-= ……3分0sin 1lim 22xx e x →+== …..6分2．求函数32()26187f x x x x =--+的单调区间及极值．解：函数的定义域为(,)D =-∞+∞2'()612186(3)(1)f x x x x x =--=-+ ……2分令'()0f x =，的驻点1,3x x =-=． ……3分单增区间为(,1],[3,)-∞-+∞，单减区间为[1,3]-，极大值(1)17f -=，极小值(3)47f =-．3．若函数()y y x =由方程sin y e xy x e ++=所确定，求0|x dy =． 解：方程两边关于自变量x 求导，()y y x =，则有''cos 0y e y y xy x +++=，所以cos 'y y xy e x +=-+． …….3分当0x =时，代入方程得1y =，所以2'(0)y e =-， ……..5分故02|x dy dx e==-． ……6分 4．求曲线sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程． 解：2sin 24sin cos dydy t dt t dx tdt-===-，……3分 在4t π=处，0,dy x y dx===-…….5分 所以切线方程为()y x =-． ……6分 5．求不定积分：x x e dx ⋅⎰． 解：x x x x xe dx x d e xe e dx ==-⎰⎰⎰……4分 x x xe e C =-+……6分6．求不定积分：． 解法1：221(1)2x ==--…..4分C = ……6分解法2：令sin ,(,)22x t t ππ=∈-，则cos dx tdt =，.…..3分原式sin cos cos cos t tdt t C C t==-+=⎰ .…..6分四、解答题（本题7分）设1,0()sin ,0x e x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，求'()f x ．解：0x >时,()1x f x e =-，所以'()x f x e =；……2分0x <时，()sin f x x =，所以'()cos f x x =． ……4分0x =时，(0)0f =，且00()(0)1'(0)lim lim 1x x x f x f e f x x---→→--===； 00()(0)sin '(0)lim lim 1x x f x f x f x x+++→→-===，故'(0)1f =．……6分 故 ,0()cos ,0x e x f x x x ⎧<=⎨≥⎩．五、证明题（每题7分，共14分）1．证明：当1x >时，x e e x >⋅．证明：令(),1x f x e ex x =-≥，则(1)0f =．……3分'()0,1x f x e e x =->> ……6分所以1x >时，()(1)0f x f >=， 即x e e x >⋅． ……7分2．证明方程0133=+-x x 在)1,0(内仅有一个实根．证明：（1）存在性令3()31f x x x =-+，显然()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =>=-<，即(0)(1)0f f <，故()f x 在[0,1]上满足零点定理，所以至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0f ξ=，即方程0133=+-x x 在)1,0(内至少有一个实根． ……5分（2）唯一性因为22'()333(1)0f x x x =-=-<，)1,0(∈x ，所以()f x 在[0,1]上单减，故方程()0f x =在(0,1)内至多有一个根．综上所述，()f x 在(0,1)内仅有一个零点，即方程0133=+-x x 在)1,0(内仅有一个实根 ……7分六、应用题（本题8分）将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转一周构成一个圆柱体，当矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？解：设矩形一边长x ，则另一边长p x -，将其绕p x -边旋转，则旋转体的体积为223()(),0V x p x px x x p ππ=-=-<<， ……3分2'(23)V px x π=-，令'0V =，得驻点23x p =． 2''(26),''()203p V p x V p ππ=-=-<． ……7分 所以，当23x p =时，V 取极大值． 2133x p p x p =⇒-=． 由问题的实际意义知，当长和宽分别取2,33p p 时，体积最大． ……8分 七、综合分析题（本题满分5分）设函数()sin f x x b x =-，且30()lim x f x a x→=，求常数a 、b 的值． 解法1：332000()sin 1cos lim lim lim 3x x x f x x b x b x x x x →→→--== （1） ……2分 0sin lim 66x b x b x →== （2） 因为（1）中分母20lim30x x →=，所以分子0lim(1cos )01x b x b →-=⇒=； 所以30()1lim 6x f x a x →==． ……5分 解法2：利用麦克劳林公式，33331sin (),sin (1)()3!3!b x x x o x x b x b x x o x =-+-=-++，……2分 则33333000(1)()()sin 3!lim lim lim 6x x x b b x x o x f x x b x b x x x →→→-++-===． 所以1,b =30()1lim 66x f x b a x →===． ……5分。