θ L
mF
在第三种情况下， FLsin = mgL1 cos
F 1 cos tan
mg sin
2
可见在摆角为 时小球的速度最大。实际上，因为F与mg
的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当
于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。
2.一对作用力和反作用力做功的特点 ⑴一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为
答案：A、B
B.Pt
D.Ff
v0 vmax t 2
பைடு நூலகம்
提示：发动机所做的功即为发动机牵引力所做的功，由 功率定义Ｗ＝Ｐｔ可知，选项B正确。
汽车以恒定功率启动，当Ｆ＝Ｆｆ 时，达到最速度ｖｍａｘ， 应有Ｐ＝Ｆｖｍａｘ＝Ｆｆｖｍａｘ所以
W Pt Ff vmaxt
选项A正确。选项C、D均将汽车的运动看作匀变速运动，其 中选项C是先求出a，再求出合外力ma的功，选项D是先算出

0.016m
物体的位移：
S2 x1 x2 0.1m 0.016 m 0.084 m
在这一过程中弹力的功在数值上等于图8中梯形OADC 的面积，
即
W弹

k x1

kx2 OC
2
所以物体的最大动能为
Ekm

W弹
W摩

1 2
k x1

x2
s2

mgs2
1 500 0.1 0.016 0.084J 0.4 2 10 0.084J 1.764J
2
发散练习2： 用质量为5kg的均匀铁索从10m深的
井中吊起一质量为20kg的物体，在这个过程中至少要
做多少功？（g取10 ｍ／S2 ）
答案：2250J 提示：作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重 力，但在拉起来的过程中，铁索长度逐渐缩短，因此拉力也 逐渐减小，即拉力是一个随距离长度变化的变力，从物体在 井底开始算起，拉力随深度h的变化关系是
例1、用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动 一周，如图1所示，已知物体的质量为m，物体与轨道间的动摩 擦因数为μ。求此过程中的摩擦力所做的功。
分析解答：把圆轨道分成无穷多个微元段S1,S2,S3,Sn . 摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段是摩擦力的功分别
W1 mgs1,W2 mgs2 ,W3 mgs3 , Wn mgsn
1 mv2 2

2 10 0.5J

1 2 22 J 2

6J
橡皮条的弹性势能增加6J，则小球的机械能 必减少6J，故橡皮条的弹力对小球做功-6J。
小结点评：弹簧或橡皮条的弹力是变力，求此
类弹力做功可用机械能守恒定律结合弹力做功与弹性
势能变化的关系.
发散演习１：1、将一质量为m的物体以初速度为
mv0 2
1 0 k 2h 0 1 mv2
2
2
1 v 2v0
2
小结点评：若力随位移按一次方函数关系变化
时，求功时可用平均作用力来代替这个变力，用恒
力功的公式求功，也可用图象求功；若力随位移的
变化不是一次函数关系，则可用 F--s 图象求功， 而
不能用平均值求功。
发散演习1：如图7所示，有一劲度系数k =500N/m的轻弹 簧，左端固定在墙壁上，右端紧靠一质量m=2㎏的物块，物块 与水平面间的动摩擦因数0.4,弹簧处于自然状态。现缓慢推动 物块使弹簧从B到A 处压缩10㎝，然后由静止释放物块， 求:（1）弹簧恢复原长时，物块的动能多大？
答案： 1107 J
提示：阻力 Ff kmg 0.051105 10N 5104
则牵引力为 F 103 s 5104
作出F-s图象如图10所示，图中梯形OABD的 面积表示牵引力的功，所以
W 5 1510 4 100 J 1.0 10 7 J
2
三、利用W=Pt求变力做功
如果F-s图象是一条曲线（如图5所
示），表示力的大小随位移不断变化， 在曲线下方作阶梯形折线，则折线下放 每个小矩形面积分别表示相应恒力所做 的功。当阶梯折线越分越密时，这些小 矩形的总面积越趋进于曲线下方的总面 积，可见曲线与坐标所围成的面积在数 值上等于变力所做的功。由于F-s图象 可以计算功，因此F-s图象又称为示功 图。
摩擦力在一周内所做的功。 W W1 W2 W3 WN mg (s1 s2 s3 sn ) 2mgR
小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行 计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式，如力 的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用公式计 算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运 动的路程。
Ｖ０竖直向上抛出，落回抛出点时的速度为Ｖ，已知空 气阻力与速率成正比，则从抛出到落回抛出点的整个过
程中，空气阻力做的功为 ：（ ）
答案：
1 2
mv2

1 2
mv02
提示：对整个过程应用动能理。
发散演习２、如图12所示，物体沿曲面从A点无速 度滑下，滑至曲面的最底点B时，下滑的高度为5m， 速度为６ｍ／ｓ，若物体的质量为1kg，则下落过程 中物体克服阻力做的功为多少？
例2、子弹以速度v0射入墙壁，如射深度为h，若子弹在墙 壁中受到的阻力与深度成正比，欲使子弹的入射深度为2h， 求子弹的速度应增大到多少？
思路点拨：阻力随深度的变化图象如图6所示，由图象求 出子弹克服阻力所做的功，在由动量定理进行求解。
正确解答：解法一：设射入深度为h 时，子弹克服阻
力做功w1；射入深度为2h时，子弹克服阻力做功W2 。由图 6可知W2=4W1
这是一种等效代换的观点，用W=Pt计算功时，必须满 足变力的功率是一定的。
例３汽车的质量为m，输出功率恒为P，沿平直公路前进 距离s的过程中，其速度由ｖ１增至最大速ｖ２。假定汽车在 运动过程中所受阻力恒定，则汽车通过距离s所用的时间为 ___.
思路点拨：汽车以恒定的功率P加速时，由P=Fv可知， 牵引力逐渐减小，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当 Ｆ＝Ｆｆ 时，加速度减小到零，速度达到最大，然后以最大 的速度做匀速直线运动。
答案：根据动能定理可得
WG W f EKB EKA
W f WG WKB 32 J
例5.如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖 直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细 线与竖直方向成θ角的位置。在此过程中，拉力F做的功各是 多少？
⑴用F缓慢地拉；⑵F为恒力；⑶若F为恒力，而且拉到该位 置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有
思路点拨：取小球、橡皮条和地球组成的系统为研究对
象，在小球从A运动到B的过程中，只有系统内的重力和弹力
做功，机械能定恒。
正确解答：取过B点的水平面为零重力势能参考平面，橡
皮条为原长时的弹性势能为零，设在B时橡皮条的弹性势能为
ＥＰ２,由机械能守恒定律得
1 mv2 2

EP2

mgh
EP2

mgh
F Mg mg 10 h 250 5h0 h 10
10
作出 图线如图9所示，利用示功图求解拉力的功（可用图 中梯形面积），得出
W 250 200 10J 2250J 2
发散练习：一辆汽车质量为1 ×105kg，从静止开始运 动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的 距离是线形关系，且 F=103 s ×5×104N，Ff 是车所受阻 力，当该车前进100m时，牵引力做了多少功？
正、可能为负、也可能为零。 ⑵一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩
擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。
这样解是错误的，因为汽车的运动不是匀加速运动，
不能用
v

1 2
(v1

v2 )求平均速度。
小结点评：汽车以恒定的功率启动时，牵引力是变力，
牵引力的功不能用W=Fs计算，但可以用W=Pt计算，若用
W F s 1 ( P P )s 求牵引力的功也是错误的． 2 v1 v2
因为牵引力随位移的变化不是线性关系，不能用
A. FLcos B. FLsin C. FL1 cos D. mgL1 cos
解：⑴若用F缓慢地拉，则显然F为变力，只
能用动能定理求解。F做的功等于该过程克服 重力做的功。选D
⑵若F为恒力，则可以直接按定义求功。
选B
⑶若F为恒力，而且拉到该位置时小球的
速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动 能定理求功都是正确的。选B、D
发散演习１：如图3所示，某个力F=10N作用与半径R=1m的 转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点 的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F做功多少？
答案：31.4J
二、图象法
在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的 力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s，如果作 用在物体上的力是恒力，则其F-s图象如图4所示。经 过一端时间物体发生的位移为S，则图线与坐标轴所围 成的面积（阴影面积）在数值上等于对物体做的功 Ｗ＝Ｆｓ，s轴上方的面积表示对物体做的正功，S轴下 方的面积表示力对物体做功（如图4（b）所示）。
（2）在弹簧恢复原长的过程中，物块的大动能为多大？
答 案：（1）1.7J：（2）1.764J.
提示：（1）从A到B的过程中，对物体 应用动能定理得：
WKB W弹 W摩 其中W摩 mgx1
Ｗ弹可利用示功图求出，画出弹簧力随位移变化的图（如
图8所示），F1=kx1 弹簧做功的值等于△OAB 的面积,即
根据动能定理，子弹减少的动 能用于克服阻力做功，有