江苏省天一中学2018届高三年级12月调研考试
数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．
．） 1．已知集合A ＝{}02x x ≤≤，B ＝{}
11x x -<≤，则A
B ＝ ．
2．用分层抽样的方法从某高中全校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽取20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 人．
3．已知复数z 满足(1)3i z i -=+，则复数z 的模为 ．
4．双曲线2212
x y -=的离心率为 ．
5．袋中有形状、大小都相同的5只球，其中3只白球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ．
6．阅读右图的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 ． 7．将函数5sin(2)4
y x π
=+
的图像向左平移(0)2
π
ϕϕ<<
个单位后，
所得函数图像关于直线x ＝
4
π
对称，则ϕ＝ ． 8．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个 直二面角B —AC —D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 ．
9．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3(01)
()31(1)x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩
，
则32
((log ))3
f f 的值为 ．
10．如右图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝
1
3
，DC 2BD =，则AD BC ⋅的值为 ．
11．已知函数2(0)
()2(0)x x
x f x e x x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩
，若函数()()g x f x k =-有三个零点，则k 的取值范
围是 ．
12．已知AC 、BD 为圆O ：2
2
4x y +=的两条互相垂直的弦，垂
足为M(1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为 ．
第6题
第12题
13．已知{}n a ，{}n b 均为等比数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意的n N *∈，总
有
4
21n n
n S T =+，则22
a b ＝ ． 14．已知正实数x ，y 满足3
3
20x y x y +-+=，且关于x ，y 的不等式2
2
1x ky +≤恒成立，则k 的最大值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，点M 为棱A 1B 1的中点．求证：
（1）AB ∥平面A 1B 1C ；
（2）平面C 1CM ⊥平面A 1B 1C ．
16．（本小题满分14分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222a c b ac +=-． （1）求B 的大小；
（2）设∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，AD
＝，BD ＝1，求cosC 的值．
将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面半径；
（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，设该长方体底面一边长为x分米（如图），求该长方体的体积V(x)及V(x)的最大值．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左顶点为A(﹣2，
0)，离心率为1
2
，过点A的直线l与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上的一点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程．
已知函数()ln f x x =，(1)
()1
a x g x x -=
+，a R ∈． （1）求函数()(1)()F x x f x =+的单调区间；
（2）若不等式()()f x g x >对任意的(1x ∈，)+∞恒成立，求a 的取值范围；
（3）若0m n >>1ln ln m n
mn m n
--=
-，求证：4mn >+． 20．（本小题满分16分）
正项数列：1a ，2a ，…m a (4m ≥，m N *∈)，满足：1a ，2a ，3a ，…，1k a -，(k a k m <，)k N *∈是公差为d 的等差数列，1a ，m a ，1m a -，…，1k a +，k a 是公比为2的等比数列．
（1）若12a d ==，8k =，求数列1a ，2a ，…m a 的所有项的和m S ； （2）若12a d ==，2016m <，求m 的最大值； （3）是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++
++=++++？
若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．。