第2章投影的基本知识2.1 投影法各种建筑物和机械都是根据工程图样施工、制造的。

工程图样必须准确地表达它们的形状、大小、材料和技术要求2.1.1 投影概念光线（阳光活灯光）照射物体，在墙面或地面上就会产生影子，影子只能反映物体的外形轮廓，而能表达出物体的形状和内部结构，这就是日常生活中经常看到的影子现象。

人们对这种自然现象进行科学地抽象总结，逐步形成了用投影来表示物体形状和大小地方法，即投影法。

投影法就是投射线通过物体，向选定的平面投影，并在该平面上得到图形的方法。

如图2-1所示。

图中光源S称为投影中心，从光源发出的光线称为投射线，落影的平面H称为投影面，平面H上产生的图形称为投影。

投影线、被投射物体和投影面是形成投影的三个必要条件，缺一不可，称为投影三要素。

制图标准规定空间几何元素用大写字母表示，其投影用相应的小写字母表示。

投影和影子是有区别的，影子是漆黑一团的，只能反映物体的外形轮廓，而投影可以将组成物体的各个表面和各棱线进行完整清晰的表达。

如图2-2所示：2.1.2 投影法的分类根据投射线之间的相互位置关系不同，投影法可分为中心投影法和平行投影法两大类。

1.中心投影法所有的投射线均汇交于一点的投影法称为中心投影法。

如图2-1所示。

中心投影法主要用来画透视图。

如图2.4（a）所示。

2.平行投影法如果将投影中心移到无穷远处，从投影中心发射出的投影线可看作是相互平行的，投射线相互平行的投影法称为平行投影法。

如图2-3所示。

平行投影法主要用来画轴测图。

如图2-4（b）所示。

在平行投影法中，根据投影射线与投影面的相对位置不同，又分为正投影法和斜投影法两种。

（1）正投影法：相互平行的投射线与投影面垂直的投影法称为正投影法。

根据正投影法所画出的图形称为正投影图，简称正投影。

如图2-3（a）所示。

（2）斜投影法：相互平行的投影线与投影面倾斜的投影法称为斜投影法。

根据投影法所画出的图形称为斜投影图，简称斜投影。

如图2-3（b）所示。

正投影法主要用来画物体的三视图。

如图2-4（c）所示。

由于正投影具有作图简便，度量准确的优点，应用相当广泛。

本书在以后各章节中所讨论的投影如无特殊说明时均指正投影，并简称投影。

2.1.3 正投影的基本特性1.真实性（全等性）：直线投影面平行时，投影反映直线的实长ab＝AB。

又称实长性。

如图2-5（a）所示。

平面与投影面平行时，投影反映平面的实形（形状、大小均不变），又称实形性。

如图2-5（b）所示。

2.积聚性：直线垂直于投影面时，投影积聚为一点，如图2-6（a）所示。

平面垂直于投影面时，投影积聚为一条直线。

如图2-6（b）所示。

3.类似性：直线倾斜于投影面时，投影为长度缩短的直线，如图2-7（a）所示。

平面倾斜于投影面时，投影为平面的类似形（形状类似，面积缩小）。

且投影形状与原图形保持四个不变（边数不变、平行性不变、凸凹性不变、直曲性不变）。

如图2-7（b）所示。

2.2 三视图的形成及投影规律作图时，通常将人们的视线看作一组相互平行且与投影面垂直的投射线，这样把物体向投影面投影所得的图形为正投影，又称为视图。

图2-8所示的三个不同形状的物体，它们在同一个投影面时投影是完全相同的。

说明在一般情况下，仅凭物体的一个投影不能完全确定物体的形状。

因此要完整准确的表达物体的形状通常需要三面正投影，又称三视图。

2.2.1 三视图的形成1.三投影面体系的位置通常采用如图2-9所示的三个两两相互垂直的平面作为投影面，构成三投影面体系。

三个投影面分别为：正立投影面，简称正面，用大写字母“V”标记。

水平投影面，简称水平面，用大写字母“H”标记。

侧立投影面，简称侧面，用大写字母“W”标记。

三个投影面的交线称为投影轴，其中V面与H面的交线称OX轴，H面与W面的交线称为OY轴，V面与W面的交线称为OZ轴，三个投影轴的交点O称为原点。

2.三视图的形成如图2-10所示，将物体置于三投影面体系中时，应注意使物体的主要表明与投影面平行或垂直，以便视图能更好地反映物体的真实形状。

为画图方便，规定OX轴方向为物体的长度方向，表示左、右方位；OY轴方向为物体的宽度方向，表示前、后方位；OZ轴方向为物体的高度方向，表示上、下方位，即将物体置于三投影面体系中后，左右为长，前后为宽，上下为高。

将物体分别向三个投影面投影，得到物体的三视图，将物体从前往后向正立投影面V 进行投影，得到的视图称主视图。

从上往下向水平投影面H进行投影，得到的视图称俯视图。

从左往右向侧立面W进行投影，得到的视图称为左视图。

在视图中，规定物体的可见轮廓线用粗实线绘制，不可见轮廓线用虚线绘制。

3.三投影面体系的展开移去物体，将投影面展开,如图2-11所示。

保持V面不动，H面绕OX轴向下旋转900，W面绕OZ轴向右旋转900，空间的三投影面体系，展开后成为一个平面。

这样就可以在一张图纸上画出物体的三视图。

展开后，OY轴分别为两部分，其中随H面向下旋转的部分标为Y h，随W面向右旋转的部分标为Y W。

2.2.2.三视图的投影规律1.三视图的投影规律投影面展开后三视图的配置位置为：主视图在OX轴的上方，在OZ轴的左方，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方。

画三视图时，必须遵守上述位置关系。

由于投影面无边界范围，所以投影面边框线一般不画，需画出投影轴，如图2-12所示。

每一个视图只能反映物体两个方向的尺寸，主视图反映长度和高度，俯视图反映长度和宽度，左视图反映宽度和高度。

同一物体在同一位置上得到的三视图之间具有如下的投影规律：主、俯视图长对正，可用垂直于OX轴的连线将两个视图的长度对应；主、左视图高平齐，可用垂直于OX轴的连线将两个视图的高度对应。

俯、左视图宽相等，可用过原点O的450斜线或以圆心的圆弧将两个视图的宽度对应。

“长对正、宽相等、高平齐”是三视图的投影规律。

如图2-13所示。

作图时，无论是物体的整体和局部，还是组成物体的几何元素点、线、面，其三视图之间必须符合这个投影规律。

视图间的投影轴可省略不画。

2.三视图与物体位置的对应关系每一个视图可以反映物体的四个方位，如图2-14所示。

主视图反映物体的左、右和上、下方位。

俯视图反映物体的左、右和前、后方位。

左视图反映物体的上、下和左、右方位。

在六个方位中，俯、左视图反映的前、后位置最易出错，应特别注意。

主、俯视图和左视图中以主视图为参照物，远离主视图的一边是物体的前面，靠近主视图的一边是物体的后面，即“远前近后”。

2.3 点、直线和平面的投影基础点、直线和平面是构成物体的最基本的几何元素，研究和掌握它们的投影知识，可提高对物体视图的分析和表达能力。

2.3.1 点的投影点的投影仍然是点，通过空间点A的投射线与投影面H只有一个交点，即点的投影a。

同一投射线上的A1、A2等点在H面上的投影也是a。

由此可知，点的一个投影不能确定该点在空间的位置，如图2-15所示。

和用点的三面投影可以确定其空间位置。

1.点的三面投影如图2-16（a）所示，将点A置于三投影面体系中，过点A分别向H、V、W三个投影面作正投影，投影线分别与三个投影面相交，得点A的三个投影a、aˊ、a〞，分别称为A的水平（H面）投影、正面（V面）投影、和侧面（W面）投影。

空间点及点的投影均用小圆圈表示。

如图2-16（b）所示。

空间点用大写字母标记（如A、B）；H面投影用相对应的小写字母标记（a、b）；v 面投影用相对应的小写字母加一撇标记（aˊ、bˊ）；W面投影用相对应的小写字母加两撇标记（a〞、b〞）。

2.点的坐标在三投影面体系中，点的空间位置取决于该点到三个投影面的距离，可以用坐标来表示，可将三投影面体系作为坐标系，三个投影面H、V、W作为3个坐标面,三条投影轴OX、OY、OZ作为坐标轴，三轴交点O作为坐标原点，如图2-16所示。

空间点A至W面的距离为x坐标，Aa〞＝aa YH＝aˊa Z＝x；空间点A至V面的距离为y坐标，Aaˊ＝aa x＝a〞a Z＝x；空间点A至H面的距离为z坐标，Aa＝aˊa x＝a〞a YW＝x；空间点A用坐标表示，可写成A（x、y、z），其三面投影与坐标间的关系为：A点的水平投影a由x和y坐标确定，a（x、y、o）；A点的正面投影aˊ由x和z坐标确定，aˊ（x、o、z）；A点的侧面投影a〞由y和z坐标确定，a〞（o、y、z）；在三投影面体系中，点的每一个投影只能反映出点的两个坐标，点的任意两个投影才能反映出点的三个坐标，可以确定点在三投影面体系中的空间位置。

3.点的三面投影规律由图2-16可知，Aa垂直于H面，Aaˊ垂直于V面，则平面Aaa x aˊ必垂直于H面和V面且垂直于交线OX轴，因此aa x垂直于OX轴，aˊa x也垂直于OX轴，即aa x⊥OX，aˊa x⊥OX，同理可得aˊa z、a〞a z同时垂直于OZ轴。

投影面展开后，得aˊax⊥OX，aˊa〞x⊥OX。

由此可得点得投影规律：（1）点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即aaˊ⊥OX；（2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即aˊa〞⊥OX；（3）点的水平投影到OX轴的距离等于该点的侧面投影到OZ轴的距离，即a a x⊥a〞a z；点的三面投影规律体现了“长对正、宽相等、高平齐”的投影规律。

根据点的三面投影规律，已知带你的任意两面投影，可求点的第三面投影。

已知点的坐标，可求点的三面投影及点的立体图，反过来，已知点的两面（或三面）投影，可求点的坐标（点到投影面的距离）。

例2-1 如图2-17（a）所示，已知点A的两面投影a及aˊ，试求a〞。

分析：根据点的三面投影规律可知，a〞必定在过aˊ所作的垂直于OZ轴的直线上，同时a〞至OZ轴的距离a〞a z等于a至OX轴的距离aa x。

作图：如图2-17（b）所示。

（1）过aˊ作OZ轴的垂线，并相交于a z。

（2）取a〞a z＝aa x，即得所求a〞。

例2-1 已知点B的坐标为（20，15，18），试作其三面投影。

分析：根据点的坐标与投影的关系，可得点的三面投影。

作图：如图2-18所示。

（1）作相互垂直的投影轴（用细实线）；（2）分别在各投影轴上截取ob X＝20，ob YH＝ob YW＝15，ob Z＝18；（3）由b X、b YH、b YW和b Z各点分别作所在投影轴的垂线，并分别交于b、bˊ、b〞三点，即得B点得三面投影。

4. 特殊点的位置（1）点在某一投影面上，它的坐标必有一个为零；（2）点在某一投影轴上，它的坐标必有两各为零；（3）点在坐标原点上，它的坐标均为零。

如图2-19（a）所示，点A在H面上，Z A＝0，点A的水平投影a与A重合，a落在OX轴上，a〞落在Y W轴上。

如图2-19（b）所示，X B＝Z B＝0，b落在OY H轴上, b〞落在OY W轴上, bˊ落在原点O上。