例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD 中 ∵ BE=3AE， ∴ S△ABD=4S△ADE=4 （平方厘米）． 在△ABC中，∵CD=2AD， ∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12 （平方厘米）．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的 重要依据．
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD， 得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等 积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以 而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、 △DCE、△ADE等积．
例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成 三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4．
三角形等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决 于三角形底和高的乘积．
①等底等高的两个三角形面积相等．
例如在右图中，若△ABD与 △AEC的底边相等 （BD=DE=EC=BC） ，它们所对的顶点同为A点， （也就是它们的高相等） 那么这两个三角形的面积 相等． 同时也可以知道△ABC 的面积是△ABD或 △AEC面积的3倍．
证明：∵△ABC与△DBC等 底等高， ∴S△ABC=S△DBC 又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC— S△BOC ∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形
分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二 是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角 形等积变形的方法，如右图， 把顶点A移到CB的延长线上的A′处， △A′BD与△ABD面积相等，从而 △A′DC面积与原四边形ABCD面积也 相等．这样就把四边形ABCD等积地 改成了三角形△A′DC．问题是A′位 置的选择是依据三角形等积变形原 则．过A作一条和DB平行的直线与 CB的延长线交于A′点． 解：①连结BD； ②过A作BD的平行线，与CB的 延长线交于A′． ③连结A′D，则△A′CD与四边形 ABCD等积．
例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E， 交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积． 解：连结AC，∵AB//CD， ∴S△ADE=S△ACE 又∵AD//BC， ∴S△ACF=S△ABF 而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶ S△ABF=S△BEF+S△AEF ∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．
再 见
方法 1：如下左图，将 BC边八等分，取 1∶3∶4的分点D、E， 连结AD、AE，从而得 到△ABD、△ADE、 △AEC的面积比为 1∶3∶4．
DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、 △ACD．其面积比为1∶3∶4．
当然本题还有许多种其他分法，同学们可 以自己寻找解决
例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线， 其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等
②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角 的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两 个三角形面积相等．
例如在右图中，△ABC与 △DBC的底相同（它们的 底都是BC），它所对的 两个顶点A、D在与底BC 平行的直线上，（也就 是它们的高相等），那 么这两个三角形的面积 相等．
③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角 形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个 三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 例如右图中，△ABC与 △DBC的底相同（它们的底 都是BC），△ABC的高是 △DBC高的2倍（D是AB中点， ABБайду номын сангаас2BD，有AH=2DE），则 △ABC的面积是△DBC面积 的2倍．
例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE， BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．
解：连结BD，将四边形ABCD分 成两个部分S1与S2．连结FD， 有S△FBD=S△DBC=S1 所以 S△CGF=S△DFC=2S1． 同理 S△AEH=2S2， 因此 S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2 （S1+S2）=2×1=2． 同理，连结AC之后，可求 出S△HGD+S△EBF=2所以四边 形EFGH的面积为2+2+1=5（平 方单位）．
解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中，
∵ CD=2AD， ∴ S△ACE=3S△ADE=3 （平方厘米）． 在△ABC中，∵BE=3AE ∴ S△ABC=4S△ACE =4×3=12（平方厘 米）．
例6 如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG， BE=EF=FC。求阴形面积。
解：连结BG，在△ABG中，
∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG
例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果 △ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．
解：连结AF、CE， ∴S△ADE=S△ACE； S△CDF=S△ACF；又∵AC 与EF平行， ∴S△ACE=S△ACF； ∴ S△ADE=S△CDF=4（平方 厘米）．