于是
f (0.596) N 4 (0.596) 0.63192,
17
截断误差
R4 ( x ) f [ x0 , , x5 ] 5 (0.596) 3.63 10 9.
差商具有如下性质(请同学们自证)：
(1) f ( x )的k阶差商f [ x0 , x1 , , xk 1 , xk ]可由函数值 f ( x0 ), f ( x1 ), , f ( xk )的线性组合表示, 且
6
f [ x0 Hale Waihona Puke x1 ,, xk 1 , xk ]
f ( xi ) i 0 ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xk )
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多 由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ), , ( x x0 )( x x1 )( x xn 1 )
共n+1个多项式的线性组合 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
f [ x0 , x1 ,, xk ]
f
(k )
( ) k!
用余项的 相等证明
7
差商的计算方法(表格法):
xk x0 x1 x2 x3 x4
f ( xk ) 一阶均差 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 ) f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ] f [ x3 , x4 ]
二阶均差
三阶均差
四阶均差
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 2 , x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ]
8
例1 给出函数y=(x)的函数表 i xi 0 -2 5 1 -1 3 2 1 17 3 2 21
1
2
…………
f [ x, x0 , ... , xn1 ] f [ x0 , ... , xn ] ( x xn ) f [ x, x0 , ... , xn ]
1 + (x x0) 2 + … … + (x x0)…(x xn1)
n 1
n 1
f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) ...
因此可得
f ( x) f0 f [ x , x0 ]( x x0 )
f0 ( f [ x0 , x1 ] f [ x , x0 , x1 ]( x x1 ))( x x0 ) f0 f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x , x0 , x1 ]( x x0 )( x x1 )
k
(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变 如
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x0 , x2 , x1 ] f [ x2 , x1 , x0 ]
(3) 当f（k ) ( x)在包含节点x0 , x1 ,, xk的区间存在时,
在x0 , x1 ,, xk 之间必存在一点 , 使得
16
从均差表看到4阶均差近似常数，5阶均差近似为0. 故取4次插值多项式 N 4 ( x ) 做近似即可. 按牛顿插值公式，将数据代入
N 4 ( x ) 0.41075 1.116( x 0.4) 0.28( x 0.4)( x 0.55)
0.19733( x 0.4)( x 0.55)( x 0.65) 0.03134( x 0.4)( x 0.55)( x 0.65)( x 0.8),
(xi) 解 差商表如下
xi -2 -1 1 2 ƒ(xi) 5 3 17 21
写出函数y=(x)的差商表.
一阶差商 -2 7 4 二阶差商 三阶差商
3 -1
-1
9
例2
对例1中的(x),求节点为x0,x1的一次插值x0,x1, 由例1的差商表知[x0,x1]=-2,[x0,x1,x2]=3,
j 0
n
Nn ( x) Rn ( x)
f ( n 1) ( ) n 1 ( x) f [ x , x0 , x1 ,, xn ]n 1 ( x) 因此 Rn ( x) (n 1)!
一般
Rk ( x ) f [ x0 , x1 ,, xk 1 ]k 1 ( x)
f [ x0 , ... , xn ]( x x0 )...( x xn1 )
f [ x, x0 , ... , xn ]( x x0 )...( x xn1 )( x xn )
Nn(x)
ai = f [ x0, …, xi ]
Rn(x)
13
若将x xi , (i 0,1,, n)视为一个节点, 则
2
显然，多项式组
1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ), , ( x x0 )( x x1 )( x xn 1 )
因此，可以作为插值基函数 线性无关，
设插值节点为 xi ,
函数值为 fi , i 0,1,, n
hi xi 1 xi , i 0,1,2 ,, n 1
kn
Newton插值 估计误差的 重要公式
( n 1) f ( ) 另外 f [ x , x0 , x1 ,, xn ] ( n 1)!
f ( k ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xk ] k!
15
例2
给出 f ( x)的函数表（见表2-2），求4次牛顿插
值多项式，并由此计算 f (0.596) 的近似值. 首先根据给定函数表造出均差表.
f [ x0 , x1 ,, xk , x] f [ x0 , x1 , , xk ] f [ x0 , x1 , , xk 1 , x ] xk x f [ x0 , x1 ,, xk 1 , x] f [ x0 , x1 ,, xk ] f [ x0 , x1 ,, xk , x]( x xk )
a0 f 0 a2 f [ x0 , x1 , x2 ] an f [ x0 , x1 ,, xn ]
11
a1 f [ x0 , x1 ]
定义3.
称
N n ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 )( x xn 1 )
f [ xi0 , xi1 , , xik 1 ] f [ xi0 , xi1 , , xik 2 , xik ] xik 1 xik
为f ( x)关于节点xi0 , xi1 ,, xik 1 , xik 的k阶差商
显然
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ] f [ x0 , x1 , , xk 1 ] f [ x0 , x1 , , xk 2 , xk ] xk 1 xk
x2的二次插值和x0,x1,x2,x3的三次插值多项式.
解
[x0,x1,x2,x3]=-1,于是有
N1(x)=5-2(x+2)=1-2x
N2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2+7x+7
N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+9 i xi (xi) 0 -2 5 1 -1 3 2 1 17 3 2 21
插值条件为 P( xi ) fi , i 0,1,, n
设插值多项式P( x)具有如下形式
h max hi
i
P( x ) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 )( x xn 1 )
表22 xk f(xk ) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 五阶均差 0.40 0.41075 0.55 0.57815 1.11600 0.65 0.69675 1.18600 0.28000 0.80 0.88811 1.27573 0.35893 0.19733 0.90 1.02652 1.38410 0.43348 0.21300 0.03134 1.05 1.25382 1.51533 0.52493 0.22863 0.03126 0.00012
§2.3
均差与牛顿插值多项式
差商及其性质 牛顿插值公式

差分及其性质 等距节点插值公式 例题分析
三、例题分析
1
我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为
( x xi ) l j ( x) i 0 ( x j xi )
n i j
j 0,1,2 ,, n
3
P( x)应满足插值条件 P( xi ) fi , i 0,1,, n
有
P( x0 ) f0 a0 P( x1 ) f1 a0 a1 ( x1 x0 )
a0 f 0
f1 f0 a1 x1 x0
P( x2 ) f 2 a0 a1 ( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余项为
f ( n 1) ( ) n 1 ( x) Rn ( x) f ( x) Nn ( x) (n 1)!