第七章多采样率信号处理7.1、信号的抽取抽取对信号频谱的影响设x(n)=x(t)|t=nT s，如果希望将抽样频率f s减小M倍，一个最简单的方法是在x(n)中每隔M点抽取一点，依次组成一个新的序列x’(n)，即x’(m)=x(Mm) m=-∞～+∞ (7.1)(n)：为了便于讨论x’(n)和x(n)时域及频域的关系，现定义一个中间序列x1(7.2a)或（7.2b）式中p(m)是一脉冲串序列，它在M的整数倍处的值为1样率减少M倍的抽取，（7.1.1）和（7.1.2）式的含意如图7.1.1所示，图中M=3。
显然（7.3a）而（7.3b）所以（7.4）式中X’(e jω)和X(e jω)分别是x’(n)和x(n)的DTFT。
可见，X’(e jω)是原信号频谱X(e jω)先作M倍的扩展再在ω轴上每隔2π/M的移位叠加，如图7.1.2(b)和（c）所示，图中M=2。
图7.1.2 抽取后对频域的影响（a）原模拟信号x(t)的频谱X(jΩ)；（b）x(n)的频谱X(e jω)，没有发生混叠；（c）作M=2倍的抽取，X’(e jω)中发生混叠；由抽样定理，在第一次对x(t)抽样时，若保证f s≥2f c，那么抽样的结果不会产生混叠，如图7.1.2(a)和（b）所示。
对x(n)作M倍抽取后得x’(n)，若保证能由x’(n)重建x(t)，那么，X’(e jω)的一个周期也应等于X(jΩ)，这要求抽样频率与信号最高频率之间必须满足fs ≥2Mfc。
如果不满足，那么X’(e jω)将发生混叠，如图（c）所示。
因为M是可变的，所以很难要求在不同的M下都保证fs ≥2Mfc。
为此，可以在抽取之前先对x(n)作抗混叠低通滤波，然后再抽取，如图7.1.3(a)所示。
时域上抽取前后信号的关系令h(n)为一理想低通滤波器，即（7.5）如图7.1.3（c）所示。
令滤波后的输出为w(n)，则再令对w(n)抽取后的序列为y(n)，则（7.6）该式实际将低通滤波和抽取两个过程统一起来处理，因为不需关心x(n)中的非M整数倍点，所以统一处理时实际省略了对这些点的滤波处理，从而减少了运算量。
(a)对x(n)先作低通滤波再抽取；(b) x(n)的频谱；（c）低通滤波器的频响；（d）对x(n)滤波后的频谱W(ejω)；（e）对w(n)作抽取后得到的y(m)的频谱。
抽取前后信号频谱的关系分析表明, 抽取后信号的频谱与原信号频谱间的关系为:为轴，即在(-π/M～π/M)内, 抽取后信号的频谱与原信号频谱只是幅度相差M倍。
但若以ωy则频率轴应扩展M倍，如图7.1.3（e）所示。
推导：为了讨论y(n)与x(n)频谱之间的关系，我们先从y(n)的Z变换入手，即因为p(m)可以看成是周期为M的离散序列，可展开为傅立叶级数形式：所以有令相对Y(e jω)的圆周频率为ωy，相对X(e jω)的圆周频率为ωx，则又因为 W(z)=H(z)X(z)所以（7.7）且 (7.8) 这样，我们可由（7.7）及（7.8）式得到Y(e jω)和X(e jω)的关系，即（7.9）式中，若|ωy |≤π，则|ωx|≤M，这也正是（7.4）式所给出的关系。
但在该式中，由于有H(e jω)的存在，其频谱被限制在|ωx |≤π/M内，所以，可仅考虑ωy的一个周期，故上式可简化为（7.10）7.2、信号的插值如果将x(n)的抽样频率f s增加L倍，得w(n)，w(n)即是对x(n)示。
插值的方法很多，一个简单的方法就是信号抽取的逆处理过程。
回想信号抽取前后的傅立叶变换关系其中，X(e jω)为原序列的傅立叶变换，X1(e jω) 为原序列的非M整数倍处变为零后的傅立叶变换，X´(e jω) 为对原序列降采样率1/M倍后的傅立叶变换。
想象一下，现在的x(n)相当于降采样处理中的x´(n)，如果我们在x(n)每相邻两个点之间填充L-1个零，相当于降采样处理中的x1(n)，L相当于降采样处理中的M。
从傅立叶变换关系看，插零序列x1(n)的傅立叶变换X1(e jω)相当于所要求的内插序列y(n)的傅立叶变换Y(e jω)（相当于降采样处理中的原序列x(n)的傅立叶变换X(e jω)）的L项周期沿拓，周期为2π/L，如果再加一低通滤波器滤出主值频谱，也就得到了所要求的内插序列y(n)。
插零后的信号及其频谱。
插值前后信号频谱的关系。
时域上插值前后信号的关系。
插零后的信号及其频谱因此内插方法为，首先在x(n)每相邻两个点之间填充L-1个零，然后再对该序列作低通滤波处理。
即令（7.11）如图7.2.1所示。
（a）原信号（b）插入L-1个0后的w(n),L=2记x(n)，w(n)的DTFT分别为X(e jωx )，W(e jωy)，由于ωy=2πf/f sy=2πf/(Lf sy)=ωx/L（7.12）所以(7.13)若令z=e jωy，则W(z)=X(z L)。
因为ωx的周期为2π，所以ωy的周期为2π/L。
上式说明，插零后信号的频谱W(e jω)在(-π/L~π/L)内等于X(e jω),相当于将X(ejωx)作了周期压缩。
如图7.2.2。
插值前后信号频谱的关系实际上W(e jωy)除在(-π/L~π/L)内等于X(e jω),还有周期延拓部分（即多余的映像部分），为此，我们在插值后仍需使用低通滤波器以截取W(e jωy)的一个周期，去掉多余的映像。
为此，令（7.14）式中C为常数，是定标因子。
令w(n)通过h(n)后的输出为y(n)。
则(7.15）因为所以应取C=L以保证y(0)=x(0)。
时域上插值前后信号的关系信号的插值虽然是靠插入L-1个零来实现的，但将w(n)通过低通滤波器后，这些零值点将不再是零，从而得到插值后的输出y(n)。
用时域表示，有k/L为整数在这个算式中，因省略了大量对内插的零的运算，从而可提高运算效率。
7.3 抽取与插值相结合的采样率转换（非整数倍转换）对给定的信号x(n)，若希望将采样率转变L/M倍，可以按以上两节讨论的方法，先将x(n)作M倍的抽取，再作L倍的插值来实现，或是先作L倍的插值，再作M 倍的抽取。
一般来说，抽取使x(n)的数据点减少，会产生信息的严重丢失，因此，合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取，如图7.3.1所示。
（a）使用2个低通滤波器（b）使用2个低通滤波器图中插值和抽取工作在级联状态。
图（a）中滤波器h1(n)、h2(n)所处理的信号的采样率都是Lfs，因此可以将它们合起来变成一个滤波器，如图 (b)所示。
令（7.16）式中（7.17）时域上x(m)和y(m)的关系。
频域上x(m)和y(m)的关系。
时域上x(m)和y(m)的关系下面分析一下图 7.3.1（b）中各部分信号之间的关系。
（7.11）式已给出了x(m)和v(m)之间的关系，即（7.18）又由于（7.19）再由（7.6）式所给出的抽取器的基本关系，最后得到y(m)和x(m)之间的关系，即（7.20）令(7.21)式中运算表示求小于或等于p的最大整数，这样，（7.20）式可写成（7.22）由于，我们可最后得到y(m)和x(m)之间关系的表达式：（7.23）由（7.23）式可以看出，y(n)可以看作是将x(n)通过一个时变滤波器所得到的输出。
记该时变系统的单位抽样响应为g(n,m)，即因为，所以g(n,m)是以变量m为周期，周期为L。
频域上x(m)和y(m)的关系综合前两节抽取与插值的基本关系，并参照（7.7）式至（7.13）式，有（7.24）及式中（7.25）再由(7.10)式及（7.15）式，有（7.26）7.4、有限长序列的采样率转换（离散傅立叶变换的应用）从前面的讨论，我们知道，在频域，采样率转换前后傅立叶变换的差别只是频谱的展宽和压缩，且展宽部分均为0分量，而压缩掉的部分本来就要去除。
由此，当需要作M倍升采样率处理时，我们可以首先将N点有限长序列作离散傅立叶变换，然后在数字频率π处补(M-1)N个零，最后对补过零后的总长度为MN的离散谱作反傅立叶变换，即可得内插M倍的有限长数字序列。
同样，当需要作L倍降采样率处理时，我们可以首先将N点有限长序列作离散傅立叶变换，然后压缩频谱，即保留0～N/(2L)-1和N- N/(2L)～N-1处的频谱，共N/L点频谱，最后对压缩后的总长度为N/L的离散谱作反傅立叶变换，即可得M倍抽取后的有限长数字序列。
因为有快速傅立叶变换方法，所以这样的处理是高效的。
另外，从处理过程看，由于直接对频谱进行扩展和压缩，没有引入新的频率分量，所以，也不需要象前面的处理那样增加抗混叠低通滤波或去映像低通滤波处理，简化了处理过程。
在采用相关法精确估计两个采样序列的时延时，该方法尤其有效。
小结采样频率的转换可直接在数字域上实现。
采样定理依然是信号抽取后不产生信息损失的基本保证。
通过分析抽取和插值前后，信号在时域和频域上的关系，给出了多采样率系统的有效实现方法。
对于有限长序列，采样率的转换可利用FFT实现。