矢量分析
思考
图0.1.1 等高线
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？
返回 上页 下页
第零章
矢量场--矢量线
其方程为：
A dl 0
矢量分析
在直角坐标下：
图0.1.2 矢量线
二维场 三维场
Ax Ay dx dy Ax Ay Az dx dy dz
返回 上页 下页
第零章
0.2 标量场的梯度
Gradient of Scalar Field
lim
V 0
1 V
A dS divA
S
divA
A
Ax x
Ay y
Az z
———散度 (divergence)
返回 上页 下页
第零章
散度的意义
矢量分析
矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
散度代表矢量场的通量源的分布特性。
A(无0源）
A(正 源)
A (负源)
图0.3.3 通量的物理意义
第零章
第0章 矢量分析
Vector Analysis
标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍兹定理 电磁场的特殊形式
矢量分析
返回 下页
第零章
0.1 标量场和矢量场
Scalar Field and Vector Field
矢量分析
场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中 任一个点都有一个确定的标量或矢量。
例如，在直角坐标下：
(x,
y,
z)
4π
[( x
1)2
5 (
y
2)2
z2
]
如温度场、电位场、高度场等；
标量场
A(x, y, z) 2xy2ex x2zey xyzez
矢量场
如流速场、电场、涡流场等。
返回 上页 下页
第零章
形象描绘场分布的工具——场线
(1) 标量场--等值线(面) 其方程为:
h (x, y, z) const
则有：
l
g el
|
g | cos( g, el )
当
(
g, el
)
0，
l
最大
返回 上页 下页
第零章
x
ex
y
ey
z
ez
grad
——梯度(gradient)
式中 ( , , )
x y z
——哈密顿算子 梯度的意义
矢量分析 图0.1.3 等温线分布
标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。
lim
n Vn 0
n
1
AVn
AdV
V
S A dS V AdV ——高斯公式
矢量函数的面积分与体积分的相互转换。
返回 上页 下页
第零章
矢量分析
0.4 矢量场的环量与旋度
Circulation and Rotation of Vector Field
0.4.1 环量 ( Circulation )
矢量分析
Φ S E dS
若 S 为闭合曲面 Φ S E dS
图0.3.1 矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
图0.3.2 矢量场通量的性质
> 0 (有正源)
返回 上页 下页
第零章
0.3.2 散度 ( Divergence )
矢量分析
如果包围点 P 的闭合面 S 所围区域 V 以任 意方式缩小到点 P 时：
第零章
2. 旋度
矢量分析
旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大
值；其方向为最大环量密度的方向
rot A A
它与环量密度的关系为
——旋度(curl)
dΓ dS
(
A) en
en－ S 的法线方向
ex ey ez
在直角坐标下:
A x y z
Ax Ay Az
返回 上页 下页
第零章
3. 旋度的物理意义
矢量分析
矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。
某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其 方向是最大环量密度的方向。
在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或
涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。
若矢量场处处 A= 0 ，称之为无旋场。
返回 上页 下页
第零章
4. 斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem )
返回 上页 下页
第零章
0.4.2 旋度 ( Rotation )
矢量分析
1. 环量密度
过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为 L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限
dΓ lim 1 Α dl
dS S 0 S L ——环量密度
环量密度是单位面积上的环量。
返回 上页 下页
梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即
最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。
返回 上页 下页
第零章
例 0.2.1 三维高度场的梯度
矢量分析
高度场的梯度与过该点的等 高线垂直；
数值等于该点位移的最大变 化率；
图0.2.1 三维高度场的梯度
指向地势升高的方向。
返回 上页 下页
第零章
矢量分析
例 0.2.2 电位场的梯度
电位场的梯度与过该点的 等位线垂直；
数值等于该点的最大方向导数；
图0.2.2 电位场的梯度
指向电位增加的方向。
返回 上页 下页
第零章
0.3 矢量场的通量与散度
Flux and Divergence of Vector
0.3.1 通量 ( Flux )
矢量E 沿有向曲面 S 的面积分
在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场，
称为 ( 通量 ) 源密度；若矢量场中处处 • A=0 ，称
之为无源场。
返回 上页 下页
第零章
0.3.3 散度定理 ( Divergence Theorem )
A
lim
V 0
1 V
A dS
S
通量元密度
矢量分析
图0.3.4 散度定理
Φ
S
A dS
矢量 A 沿空间有向闭 合曲线 L 的线积分
Γ LA dl
——环量
图0.4.1 环量的计算
环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线 旋转趋势的大小。
返回 上页 下页
第零章
例：流速场
矢量分析
图0.4.2 流速场
水流沿平行于水管轴线方向流动，= 0，无涡
旋运动。
流体做涡旋运动， 0，有产生涡旋的源。
矢量分析
dΓ dS
( A) en
dΓ ( A) endS ( A) dS
图 0.4.3 斯托克斯定理
l A dl S ( A) dS
——斯托克斯定理
矢量函数的线积分与面积分的相互转化。
在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是
矢量分析
设一个标量函数 (x，y，z)，若函数 在点 P 可
微，则 在点P 沿任意方向 l的方向导数为
( , , ) (cos, cos , cos )
l x y z
设
g
(
x
,
y
,
z
),
elቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(cos,cos ,cos )
式中 , , 分别是任一方向 l 与 x, y, z 轴的夹角