小质量m的绝对速度为： 2 & & & & & & && va = x12 + y12 = 4R2θ 2 + x2 + 4x2θ 2 + 4Rxθ cos3θ −8Rxθ 2 sin3θ
3
第5章分析力学基础
习题
第5章分析力学基础
习题
r sinα = Rcos3θ 方法2： ΔOBA中 2 2 2 有：r = R + x − 2 Rx cos(90° − 3θ ) = R 2 + x 2 − 2 Rx sin 3θ 小质量m的绝对速度
ω
2 2
2+ 2 k = J 2
ω
2 R
k = 3J
3k ω′ = 10 J
2 R
ω
2 1
2 1
k ≈ 4J
⎫ 2 θ2 )⎪ ⎪ 2 ⎬ 2 θ2 )⎪ ⎪ 2 ⎭
方法1：广义坐标、频率和主振型都与题3－3相同。待定常数由 初始角速度为零，初始转角为[0, 0.01]T，代入下式得到。（ ω 不等于 ω1和 ω2）
1 ⎤ ⎧ A1 cos (ω1t − ϕ1 ) ⎫ ⎧θ1 ⎫ ⎡ 1 ⎨ ⎬=⎢ ⎬ ⎥⎨ ⎩θ 2 ⎭ ⎣ 2 − 2 ⎦ ⎩ A2 cos (ω 2t − ϕ 2 )⎭
+
kT sin ω t ⎧ ⎫ 1 ⎬ 2 2 2 ⎨ 2 J ω − 4 Jk ω + k ⎩ ( 2 k − 2 J ω )T sin ω t ⎭
习题
⎧1 ⎪ (θ1 + θ ⎪2 1 ⎤ ⎧ y1 ⎫ −1 ⎧ 1 ⎫ 1 ⎤ 1 ⎡ 1 ⎡1 ⎨ ⎬ = [u ] ⎨ ⎬ = ⎨ [u ] = [u] = ⎢ ⎢ ⎥ ⎩θ 2 ⎭ ⎪ 1 2 J ⎣ 2 − 2 ⎦ ⎩ y2 ⎭ 2 − 2⎥ ⎣ ⎦ ⎪ 2 (θ1 − ⎩
ω 12 =
2− 2 k J 2
第6章 非线性振动 6－1 分析单摆在ϕ=π时奇点的性质(系统 无阻尼)。
& ϕ& + g sin ϕ = 0 l
习题
6－2 求出下列方程的奇点，并指出其类型
&& + x + x 3 = 0 x 奇点: & x = 0, x = 0
奇点为中心。
6－3 用直接展开法求出方程的一阶渐近解
& && + x − ε x 2 = 0 x(0) = A, x(0) = 0 x 2 2 2 ⎛A ⎞ A A 2 x = A cos t + ε ⎜ ⎟ ⎜ 2 − 3 cos t − 6 cos 2t ⎟ + 0(ε ) ⎝ ⎠
mL && mgL kA θ + cθ& + ( k − 2 )θ = cos ω t a a2 a k Aa cos (ω t − Φ ) θ = ( ka 2 − mgL ) (1 − ω 2 ) 2 + ( 2ζω ) 2 ω 2ζ ω a 2k g ω = Φ = arctan − ωn = ωn 1−ω 2 mL2 L
第5章分析力学基础 习题 5－1 质量为m、半径为R的均质圆柱体，沿 半径为3R的内圆柱表面作无滑滚动。圆柱 体的端面有一质量可忽略的光滑导轨，一 小质量m用两个刚度为k的弹簧与导轨两端 连接，起始时质量m处于静平衡位置时圆柱 体的中心，如右图所示。试利用Lagrange 方程导出系统作微振动的微分方程。 方法1： 广义坐标为x和θ。小质量m的位置 为A，在O1-x1y1坐标系中的坐标为： x1 = 2 R sin θ + x cos 2θ y1 = 2 R cosθ + x sin 2θ 小质量m的速度在x1轴和y1轴上的分量分别 & & & 为： Rθ cosθ + x cos2θ − 2xθ sin 2θ y = −2Rθ sinθ + x sin 2θ + 2xθ cos2θ & & & & x =2 &
边界条 件： 设： y
4－3 设悬臂梁的右端带有一体积较大的质量，试写出梁 作横向振动时，右端点的边界条件。
∂2 ⎡ ∂ 2 y (x, t) ⎤ ∂ 2 y (x, t) 0< x < L ⎢EI (x) ⎥ = m (x) 2 2 ∂x ⎢ ∂x ∂ t2 ⎥ ⎣ ⎦ 1 d 2 F (t ) = −ω 2 设 y ( x, t ) = Y ( x ) F ( t ) 有 d t2 F (t ) 2 ⎡ 2 d Y ( x ) ⎤ ：2 ： d −
P ⎞ Jω2 ⎟ = 2 Θ ( x) x = L ⎟ GI P ⎠ x=L
βi
GI P J
Θi ( x) = a
第4章 连续系统
习题
4－2 设梁的左端由横向弹簧和扭转弹簧支承，试写出梁 作横向振动时，左端点的边界条件。
∂ 2 y ( x, t ) ∂2 ⎡ ∂ 2 y ( x, t ) ⎤ − ⎢ EI ( x ) ⎥ = m ( x) 2 2 ∂ t2 ∂x ⎢ ∂x ⎥ ⎣ ⎦
1 1
ωi = ( i π) 2
EI mL
4
, Yi (x) =
2 iπ sin x ( i = 1, 2, L) mL L
y ( x, t ) = ∑
i =1
∞
(−1)i +1 2 L3 F (2i − 1) π sin x sin ωt 4 4 4 2 (2i − 1) π EI − mL ω L
习题
设：广义坐标θ 为直角杆的转角，图示位置为零，逆时 针为正。
ζ =
a 2c 2 L m( ka 2 − mgL)
−k3 ⎤ k 3 + k 4⎥ ⎦
⎧ x 1 ⎫ ⎧0⎫ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎩ x 2 ⎭ ⎩0⎭
2－4 弹簧－质量系统，从t = 0时，突 加一个F0 力，以后该力保持不变。试 用Duhamel积分求系统的响应。 2－5 一仪器要与发动机的频率从 1600 rpm 到2200 rpm 范围 实现振动隔离，若要隔离85％，仪器安装在隔振装置上时， 隔振装置的静变形应为多少？(2.68 mm)
势能零点在系统静平衡时O点位置，Lagrange函数L：
L= 1 1 1 m ( 2 R θ& ) 2 + ( mR 2 )( 2θ& ) 2 2 2 2 1 & & + m ( 4 R 2θ& 2 + x 2 + 4 x 2θ& 2 + 4 R x θ& cos 3θ − 8 Rx θ& 2 sin 3θ ) 2 1 − 2 mgR (1 − cos θ ) − 2 mgR (1 − cos θ ) + mgx sin 2θ + ( 2 kx 2 ) 2
1
第3章 多自由度线性系统的振动 3－3 图示扭转振动系统中， k1 = k2 = k，J1 = 2 J2 = 2 J。 求系统的固有频率 和主振型；正则化振型矩阵和主坐标； 用三种方法估算系统的基频，并与精确 解作比较。
广义坐标如图。
习题
第3章 多自由度线性系统的振动 3－4 图示扭振系统中，时间 为零时，两盘的初始角速度为 零，端部的小盘初始转角为 0.01弧度。求系统的全响应。
则有：
d 2Y ( x) kt dY ( x) = EI dx dx 2
d 3Y ( x) k = − Y ( x) dx 3 EI
M的惯性力与惯性力矩大小为： ∂2 ⎡ ∂y ( x, t ) ⎤ ∂ 3 y ( x, t ) PI = M 2 ⎢ y ( x, t ) + l MI = J ∂t ⎣ ∂x ⎥ x = L ⎦ ∂t 2 ∂x x = L 边界条件(A点)： ∂ 2 y ( x, t ) ∂ 3 y ( x, t ) Q = EI = − M I − PIl = PI M = EI ∂x 2 x = L ∂x 3 x = L 3 dY ( x ) d Y ( x) 或 = − Mω 2Y ( L) − Mlω 2 EI dx x = L dx 3 x = L ：
设：广义坐标x 为质量 m1 和 m2的位移，向下为正，弹 簧-质量m2和 m1系统静平衡时为零。
x (t ) =
m2
2gh
( m1 + m 2 ) k
sin
m2 g k k t− cos t m1 + m 2 k m1 + m 2
第2章 单自由度线性系统的振动 2－3 试导出图示系统的振动微分方程，并求 系统的稳态响应、半功率带宽。
3－2 如图所示，绳索上有两个质量 m1 和 m2 ( m1 = 2 m2 )， 各段绳索中的张力均为T ，用柔度法建立系统作微振动的微 分方程。
设：广义坐标x1 和 x2分别为质量 m1 和 m2的位移，向下为正，系统 静平衡时为零。
x ⎡ 2 0⎤ ⎧ && 1 ⎫ T ⎡ 2 − 1⎤ ⎧ x 1 ⎫ ⎧0⎫ ⎢0 1⎥ ⎨ && ⎬ + m L ⎢ − 1 2 ⎥ ⎨ x ⎬ = ⎨0⎬ ⎣ ⎦ ⎩x 2 ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ 2⎭ ⎩ ⎭ 2
试用状态空间法求系统的响应。
4－1 设图示轴系由长度为L、单位长度 转动惯量为J、扭转刚度为GIP的均匀杆 和转动惯量为J2的刚性薄圆盘组成，轴 系一端固定。求解轴系作扭转振动时系 统的特征值问题。
⎡− 3 − 3.25⎤ [N ] = ⎢ 0 ⎥ ⎣1 ⎦
d 2 Θ ( x) dx
2
+ β 2 Θ ( x) = 0
4
EI d 2Y ( x) dx 2 = ( J + Ml 2 )ω 2