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(2)由题设 f(-
1 3
)=0,
即
1 3
+
2 3
a-3=0.
解得 a=4.
∴f(x)=3x2-8x-3.
令
f(x)=0
得
x=-
1 3
或
3.
在 [1, 4] 上, 当 x 变化时, f(x), f(x) 的变化情况如下表:
x 1 (1, 3) 3 (3, 4) 4
f(x)
-
0
+
f(x) -6
-18
-12
∴f(x) 在 [1, 4] 上的最大值是 f(1)=-6.
(3)函数 g(x) 与 f(x) 的图象恰有三个交点, 即方程 x3-4x2-3x=bx 恰有三个不等实根. ∵x=0 是方程的一个根, ∴方程 x2-4x-3=b 即 x2-4x-(3+b)=0 有两个非零不等实根.
∴2m-1<m+1≤-2 或 m+1>2m-1≥0.
解得 m≤-3 或
1 2
≤m<2.
即
m
的取值范围是(-∞,
-3]∪[
1 2
,
2).
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导数的应用举例 5
已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函
数在,[1求, a实] 上数的a 的最取大值值范; (围3);在((22))若的x条=-件13下是,
f(x) 的极值点, 求 f(x) 是否存在实数 b, 使得
函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点, 若存在,
求出实数 b 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.
解: (1)由已知 f(x)=3x2-2ax-3.
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导数的应用举例 2
已知函数 f(x)=x5+ax3+bx+1 仅当 x=-1, x=1 时取得极值, 且 极大值比极小值大 4, 求 a, b 的值.
解: ∵f(x)=5x4+3ax2+b, 又当 x=-1, x=1 时 f(x) 取得极值,
∵当 x(-1, 0) 时, 2x2<2(-1)2=2,
∴-2≥2. ∴≥4. ② 由 ①, ② 知 =4.
故存在实数 , 其值为 4, 使 (x) 满足题设条件.
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导数的应用举例 8
已知函数 f(x)=-x3+ax2+b(a, bR). (1)若 a=1, 函数 f(x) 的图象 能否总在直线 y=b 的下方? 说明理由; (2)若函数 f(x) 在 [0, 2] 上 是增函数, x=2 是方程 f(x)=0 的一个根, 求证: f(1)≤-2; (3)若曲 线 f(x) 上任意不同两点的连线的斜率小于 1, 求 a 的取值范围.
∴f(x)=x2+1, g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.
(2)(x)=g(x)-f(x)=x4+2x2+2-(x2+1)=x4+(2-)x2+2-.
∴(x)=4x3+2(2-)x =2x(2x2+2-).
∵(x) 在 (-∞, -1) 内为减函数,
∴(x)<0 在 (-∞, -1) 内恒成立.
∴f(x)=ax3+bx2+cx, f(x)=3ax2+2bx+c.
∵函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=0 处取得极值,
∴f(0)=0c=0.
∵过点 P(-1, 2) 的切线斜率为 f(-1)=3a-2b, 而曲线 f(x)在
点 P 的切线与直线 y=2x 的夹角为45, 且倾角为钝角,
设函数 f(x)=- 13x3+2ax2-3a2x+b, 0<a<1. (1)求函数 f(x) 的单调
区间、极值; (2)若当 x[a+1, a+2] 时, 恒有 |f(x)|≤a, 试确定 a
的取值范围. 解: (2)∵0<a<1, ∴2a<a+1.
∴f(x)=-x2+4ax-3a2 在 [a+1, a+2] 上为减函数. ∴f(x)max=f(a+1)=2a-1, f(x)min=f(a+2)=4a-4. ∵当 x[a+1, a+2] 时, 恒有 |f(x)|≤a, 即
由 ①, ② 得 a=-1, b=-3.
故 a, b 的值分别为 -1, -3. 盛年不重来,一日难再晨,及时当勉
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导数的应用举例 3
设函数 f(x)=- 13x3+2ax2-3a2x+b, 0<a<1. (1)求函数 f(x) 的单调
区间、极值; (2)若当 x[a+1, a+2] 时, 恒有 |f(x)|≤a, 试确定 a
或 x>1 时,
有
f(x)>0;
当
-
1 3
<x<1 时,
有
f(x)<0.
故
f(x)
的单调递增区间是
(-∞,
-
1 3
)
和
(1,
+∞);
f(x)
的单调递减区间是
(-
1 3
,
1).
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导数的应用举例 7
已知 f(x)=x2+c, 且 f[f(x)]=f(x2+1). (1)设 g(x)=f[f(x)], 求 g(x);
解: (2)由(1)知 f(x)=3x2+6x. 又由 f(x)>0x<-2 或 x>0,
∴f(x) 的单调递增区间为 (-∞, -2] 和 [0, +∞).
∵函数 f(x) 在区间 [2m-1, m+1] 递增,
∴[2m-1, m+1] (-∞, -2] 或 [2m-1, m+1] [0, +∞).
(2)设 (x)=g(x)-f(x), 试问: 是否存在实数 , 使 (x) 在(-∞, -1)
内为减函数, 且在 (-1, 0) 内是增函数.
解: (1)∵f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c, f(x2+1)=(x2+1)2+c.
∴由 f[f(x)]=f(x2+1) 得, c=1.
的取值范围.
解: (1)由已知 f(x)=-x2+4ax-3a2, 令 f(x)=0 得 x=a 或 x=3a.
∵0<a<1, ∴a<3a.
当 x 变化时, f(x), f(x) 的变化情况如下表:
x (-∞, a) a (a, 3a) 3a (3a, +∞)
f(x) -
0
+
0
-
f(x) 极小值 极大值
∴△=16+4(3+b)>0 且 3+b0. 解得 b>-7 且 b-3.
故实数 b 的取值范盛年围不重是来,(一-日7难,再-晨3,)及∪时当(勉-3, +∞).
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导数的应用举例 6
已知函数 f(x)=x3-3ax2+2bx 在点 x=1 处有极小值 -1, 试确 定 a, b 的值, 并求出 f(x) 的单调区间.
∴|
2-f(-1) 1+2f(-1)
|=1
且 f(-1)<0.
解得
f(-1)=-3.
又 f(-1)=2,
∴3a-2b=-3 且 -a+b=2. 解得 a=1, b=3.
∴f(x)=x3+3x2.
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导数的应用举例 4
已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 在 x=0 处取得极值, 曲线 y=f(x) 过原点和点 P(-1, 2). 若曲线 f(x) 在点 P 处的切线与直线 y=2x 的夹角为45, 且倾角为钝角. (1)求 f(x) 的解析式; (2)若 f(x) 在 区间 [2m-1, m+1] 递增, 求 m 的取值范围.
解: 由已知可得: -1=f(1)=1-3a+2b, 即 3a-2b=2. ①
又 f(x)=3x2-6ax+2b, 0=f(1)=3-6a+2b, 即 6a-②
解得
a=
1 3
,
b=-
1 2
.
∴f(x)=3x2-2x-1.
由 f(x)=0 得, x=1 或 - 13.
∴当 x<-
1 3
或 x>1. (1, +∞).
(2)命题等价于 f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值小于 m.
令
f(x)=0
得
x=-
2 3
或
1.
∵f(-1)=5 12,
f(-
2 3
)=5
2227,
f(1)=3
1 2
,
f(2)=7,
∴f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值为 7.
∴7<m. 故实数 m 的取值范围是 (7, +∞).