判定三类特殊函数的奇偶性
一、要点解读
1、理解奇、偶函数的定义要把握好两个问题：其一，定义域关于原点对称是函数f （x ）为奇函数或偶函数的必须满足的条件；其二，)()(x f x f -=-或)()(x f x f =-是定义域上的恒等式．
2、具有奇偶性的函数的图像的特征；偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于 原点对称．所以判断函数的奇偶性，除了定义法还有图像法．
3、由奇函数的定义可知，在x ＝0处有意义的奇函数f （x ），有f （0）＝0成立．
4、有时可以应用定义的等价形式来判断函数的奇偶性．
)()(x f x f ±=-，即0)()(=-x f x f ，即).0)((1)
()(≠±=-x f x f x f 5、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同．
二、典例剖析
1、常见函数的奇偶性的判断
例1、判断函数1||)(2-=
x x x f 是否具有奇偶性． 解：先看定义域，由012≠-x 得1±≠x ，则定义域}1,|{±≠∈=x R x x D 关于原点
对称，即任取D x ∈，都有D x ∈-，又1)(||)(2---=-x x x f )(1
||2x f x x =-=， 所以1
||)(2-=x x x f 为偶函数． 点评：第一步：判断定义域是否关于原点对称；第二步：若定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数，若定义域关于原点对称，则进一步寻找f （－x ）与f （x ）之间的关系；第三步：根据定义下结论．
2．分段函数的奇偶性
例2、判断函数⎩⎨⎧>+-<-=)
0)(1()0)(1()(x x x x x x x f 的奇偶性． 解：由题意，得函数f （x ）的定义域关于原点对称，当x<0时，－x>0，
所以)()1()(x f x x x f =-=-，当x>0时，－x<0，所以)()1()(x f x x x f =+-=-，
综上所述，得f （－x ）＝f （x ），则f （x ）是偶函数．
点评：对于分段函数要在定义域的不同部分上来分析奇偶性，但是要在整体上给该函数下结论．
3、抽象函数的奇偶性
例4、已知函数f （x ）对一切x ，y 都有).()()(y f x f y x f +=+
（1）求证：f （x ）是奇函数；
（2）若f （－3）＝a ，试用a 表示f （12）．
分析：要证f （x ）为奇函数，需证f （－x ）＝－f （x ），即.0)()(=+-x f x f 解；（1）令x ＝y ＝0，得)0()0()00(f f f +=+，所以f （0）＝0，令y ＝－x 得 )()()(x f x f x x f -+=-，所以.0)()(=+-x f x f 所以函数f （x ）为奇函数．
（2）因为f （－3）＝a ，函数f （x ）为奇函数，所以f （3）＝－a ，
所以a f f f 2)3()3()6(-=+=，所以.4)6()6()12(a f f f -=+=
点评：在解有关抽象函数的问题时，常用赋值法．常常赋值为0或1，在判断函数的奇偶性时，需要判断f （－x ）与f （x ）的关系，可以从f （－x ）开始化简得到，也可以从考虑)()(x f x f +-或)()(x f x f --是否为零来判断两者的关系．。