概率积分表见 p.504 , 表 10.1
例：误差落在（-σ, + σ）， 即up=1的概率为0.683
20
•标准误差的统计意义： 标准误差的统计意义： 标准误差的统计意义 在一组等精密度的测量中， 个测量值有 个误差， 个测量值有n个误差 很大， 在一组等精密度的测量中，n个测量值有 个误差，若n很大， 很大 则其中有68.3%的误差值落在 的误差值落在（-σ, + σ）区间内。 则其中有 的误差值落在
π
h = π1/2 f ( 0 ) ……..精密度常数 h决定了曲线的峰高，即最小误差出现的概率密度。 ∵正态分布概率密度函数f(∆)的推导引用了三条公理，∴其 结果也满足三公理： a. f(∆)是e的负指数函数， ∆ 越小， f(∆)越大 的负指数函数， 越小， 是 的负指数函数 越大 ∆=0时， f(∆)为极大 为极大——单峰性。 单峰性。 为极大 单峰性 b. c. f(∆)是以 2为指数的函数，±∆对应的 是以∆ 指数的函数 指数的函数， 对应的f(∆)相等 相等——对称性。 对称性。 是以 对应的 相等 对称性
21
3) 算术平均值的精密度估计
各组等精密度测量得到的算术平均值有波动，即平均值有离散性 算术平均值的标准误差
σ
讨论： a.
x
x
=
σ
n
=
∑∆
i 1
n
2
n
σ <σ
b.
n
增加，
减小 σ
x
c.
反映了 x 的离散性
d. 有68.3%的把握认为实验测得的误差不大于σ x 的把握认为实验测得的误差不大于 测量结果精密度的比较 用各种不同的统计误差，在不同的概率水平下评定同一组测量 结果的离散性
2 f (∆) = c′ex −h2∆ p
(
)
∫
………………（2）
根据有界性公理
+∞ − ∞
∫
′ f(∆)d = c ∆
+∞
2 e p − h2∆ x
− ∞
(
) d∆ =1
15
•高斯分布函数的推导
根据对称性公理
2 2 ∫ f(∆)d∆ = 2c′ ∫ exp − h2∆ d∆ = 1 0 0 +∞ +∞
泊松分布、均匀分布……t分布。 • 高斯分布 p495/13
p495
随机误差服从的统计分布规律有：高斯分布、二项式分布、
随机误差服从高斯分布时，大量等精密度独立测量的结果 服从三条概率论公理：
有界性：随机误差的绝对值不超过某一定界限。 有界性：随机误差的绝对值不超过某一定界限。 对称性：绝对值相同的正、负误差出现的概率相同。 对称性：绝对值相同的正、负误差出现的概率相同。 单峰性：绝对值大的误差出现的概率小，绝对值小的误差出现概率大。 单峰性：绝对值大的误差出现的概率小，绝对值小的误差出现概率大。绝对值最小 的误差出现概率最大。 的误差出现概率最大。
• • 衡量测量列的离散度 有确定的值（对一测量列） 有确定的值（对一测量列）
∆
与真值的具体的偏差 对一测量列，可大可小， 对一测量列，可大可小， 可正可负。
19
3. 随机误差的统计表示
1) 置信概率与置信区间（讨论σ的统计意义） 置信概率与置信区间（讨论 的统计意义 的统计意义） 测量中不仅要知道某测量列的误差范围，还需要了 解误差落在某范围的概率 概率由概率密度函数在某范围内的积分求得 误差的范围: q = ± upσ
精密度最差 准确度最好 精确度居中
精密度最好 准确度最差 精确度最差
6
(4)最可信值与真值 最可信值与真值 真值——测量对象真正的数值。 测量对象真正的数值。 真值 测量对象真正的数值 最可信值——实验测量所得的最可能接近真值的值。 最可信值 实验测量所得的最可能接近真值的值。 实验测量所得的最可能接近真值的值 算术平均值——最小误差所对应的出现概率最大的值。 最小误差所对应的出现概率最大的值。 算术平均值 最小误差所对应的出现概率最大的值 以后将证明最可信值就是大量重复测量的算术平均值。 算术平均值。 算术平均值 因为真值 真值是不知道的，误差因此无法求得。只能引入残 真值 残 差概念对误差大小作一估计。 残差： 残差：
13
•高斯分布函数的推导
dln f (∆1) dln f (∆2 ) dln f (∆n) 或： ∆1 + ∆2 +⋅⋅⋅ + ∆n = 0 ∆1d∆1 ∆2d∆2 ∆nd∆n
由于
∑∆i = 0
i= 1
n
（随机误差的对称性）
所以为使以上两式成立
dln f (∆1) dln f (∆2 ) dln f (∆n) = = ⋅ ⋅⋅ = = k （常数） ∆1d∆1 ∆2d∆2 ∆nd∆n
dln p dln f (∆1) dln f (∆2 ) dln f (∆n) dln(d∆) = + +⋅⋅⋅ + +n dA dA dA dA dA
(1)
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•高斯分布函数的推导
d∆为任意取定的微分量，与A无关，∴ 令(1)式等于零，有
dln(d∆) n =0 dA
dln p dln f (∆1) dln f (∆2 ) dln f (∆n) = + +⋅⋅⋅ + =0 dA dA dA dA
•极限误差 极限误差
up σ= （-3σ, + 3σ）,
p = 0.9973
•平均误差 平均误差
up σ= ±0.7979σ ,
p=0.575
•或然误差 或然误差
up σ= ±0.675σ ,
p = 0.5
2) 最可信值：等精密度独立测量列的算术平均值 最可信值： E=Σ(xi / n ) = x （p.506 , 式10.21） ）
随机误差的数据处理
1
1. 测量误差及其种类 2. 随机误差与概率统计 3. 随机误差的统计表示 4. 直接测量数据的一般处理过程 5. 间接测量的误差
2
1. 测量误差及其种类 （1）误差的意义 ） 科学实验的任务——观察自然现象，定量测 观察自然现象， 科学实验的任务 观察自然现象 量有关物理量， 量有关物理量，并通过误差的数据处理以及 对测量结果不确定度的评估使测量的物理量 更接近于真实的值。然后通过理论分析， 更接近于真实的值。然后通过理论分析，总 结出这些物理量之间的相互联系，得到对自 结出这些物理量之间的相互联系， 然现象本质的认识。 然现象本质的认识。 例1：经典力学—天文学观察（第谷—开普勒— 牛顿）
v = x−x
7
2. 随机误差与概率统计 （1）研究随机误差的意义 研究随机误差的意义 一切测量中，随机误差是无法避免的，利用随机误 差理论对测量数据进行处理可减小随机误差对测量结果 的影响并估计出误差的大小。 （2）有关概率统计的几个基本概念 概率： 概率：一定条件下的N次试验（测量）中，事件A发生了 NA次，事件A的概率为P(A)
dln p dln f (∆1) d∆1 dln f (∆2 ) d∆2 dln f (∆n) d∆n 或： = + +⋅⋅⋅ + =0 dA d∆1 dA d∆2 dA d∆n dA
∵ ∆i= x i-A ∴
d∆i = −1 dA
dlnf (∆n ) ∴ dlnf (∆1 ) dlnf (∆2 ) + +⋅ ⋅ ⋅ + =0 d∆1 d∆2 d∆n
(
)
1 ∵ d(h∆) = hd∆ ， d∆ = d(h∆) h
c′ 1 2 2 p ∫ ex −h ∆ d(h∆) = 2 h 0
∞
(
)
∵
∞ 0
p ∫ ex (− x
2
)
π d = x 2
∴ c′
h c′ = π
π 1 = h 2 2
16
代入（2）式
•
高斯分布函数的推导 h 2 f (∆) = ex (−h2∆ ) ……..高斯分布函数 p
3
只有实验观察为准确可靠时才可能发现认识或证实 某自然规律。 某自然规律。 为了得到正确可靠的实验数据需要掌握必要的误差理 论。 • 误差理论包括 误差理论包括： • 减少实验误差的方法 减少实验误差的方法——系统误差理论。 • 实验误差的数据处理 实验误差的数据处理——指从带有偶然性的观察值中 用数学方法导出规律性结论的过程。 在不少实验中，尤其是现代物理实验中，现象的随机 性质是十分突出的，物理过程的规律性往往被现象表面 的偶然性所掩盖，因而必须用适当的数学工具才能恰当 地设计实验，才能由观察数据得出正确的结论。
即 积分上式
dln f (∆i ) = k∆id∆i
1 2 ln f (∆i ) = k∆i + c 2
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•高斯分布函数的推导
1 2 f (∆i ) = c′ exp k∆i 2
根据单峰性原理， ∆越大， p(∆)=f (∆) d∆越小，即 指数项应小于零 令
1 k = −h2 2
P(A) = lim
N→ ∞
N A N
例：有红、黄、蓝、白、黑五色子，每次抽1只，抽了N 次，出现红子的次数Nr，那么出现红子的概率为
Nr P(r) = lim N→ ∞ N
8
•随机变量 随机变量
若一定条件下某观察值的出现是一随机事件，那么这一观 察值就是随机变量 随机变量。（在相同条件下，由于偶然因素变量可能 随机变量 不同值，但这些值落在某个范围内的概率是确定的）如：概率 服从高斯分布。例：用秒表测量单摆的振动时间T。 高斯分布。 高斯分布
5
∆i= x i-A
(3)测量的准确度、精密度与精确度 测量的准确度、 测量的准确度
• 准确度 准确度——描述测量结果与真值的偏离程度，反映系统 误差的 大小。 • 精密度 精密度——描述重复测量结果之间的离散程度，反映偶 然误差大小。 • 精确度 精确度——准确度和精密度的结合。