高三数学期初学前调查 2013-9-1一：填空题1．命题p ：对任意实数x 都有2x ＋ax ＋1>0恒成立，则⌝p 是 ▲ 。

2t 是时间，s 是位移），则物体在时刻3t = 时的速度为 ▲ ．3．已知集合),(},2log |{2a B x x A -∞=≤=，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ 。

4的虚部是 ▲ ．5．“1a >”是“函数xa x f )()(2=在定义域内是增函数”的 ▲ 条件。

6．已知函数y =x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c 的值为__ ▲ ___． 7．函数)53(log )(21-=x x f 的定义域是 ▲ 。

8．若方程0422=+-mx x 的两根满足一根大于1，一根小于1，则实数m 的取值范围是 ▲ 。

9．设函数|log |)(2x x f =，则)(x f 在区间)12,(+m m （m >0）上不是单调函数的充要条件是 ▲ 。

10．已知函数)(x f y =的图象关于直线0=x 对称，当0>x 时，x x x f 2)(2-=，则当0<x 时，)(x f = ▲ 。

11．已知函数⎩⎨⎧≤-->-=0 ,20 ,12)(2x x x x x x f ，若函数m x f x g -=)()(有3个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ 。

12．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2 ,1)21(2 ,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ 。

13．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于__ ▲ __．14．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，()0f x '>，且()0f x <的解集为 ▲ 。

二：解答题 15．（本题满分14分）已知集合φ≠=+-==-=B b ax x x B x x A },02|{},01|{22，且A B A = ，求a 、b 的值。

16．（本题满分14分）已知函数)(x f 是偶函数，且xxa a x f -+=λ)(（a >0，且a ≠1）。

（1）求实数λ的值；（2）证明：函数)(x f 在),0(+∞上是单调增函数。

已知复数22(6)(2)()z m m m m i m R =+-++-∈在复平面内所对应的点为A ． （1）若复数4z m +为纯虚数，求实数m 的值； （2）若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围； （3的最小值及此时实数m 的值． 18．（本题满分15分）设命题p ：实数x 满足)0(03422><+-a a ax x ，命题q ：实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x 。

（1）若a =1，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若a =1，且q p ∨为假，求实数x 的取值范围；（3）若p ⌝是q ⌝充分不必要条件，求实数a 的取值范围。

如图，l 1，l 2是通过某市开发区中心O 的南北和东西走向的两条道路，连接MN 两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线l 1对称，M 到l 1、l 2的距离分别是2km 、4km ， N 到l 1、l 2的距离分别是3km 、9km 。

（1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN 的方程；（2）该市拟在点O 的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点O 的距离大于5km 而不超过8km ，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于6km ，求该厂离点O 的最近距离。

（注：工厂视为一个点） 20．（本题满分16分）已知函数f (x )＝e x (其中e 为自然对数的底数)，g (x )＝2nx ＋m (m ，n ∈R )． （1）若n ＝4时方程f (x )＝g (x )在[0,2]上恰有两个相异实根，求m 的取值范围； （2）若T (x )＝f (x )g (x )，m ＝1－2n，求T (x )在[0，1]上的最大值.Ol 2l 1MN2013-2014年高三数学期初学前调查参考答案一：填空题1、R x ∈∃，使得2x ＋ax ＋1≤0 2、6 3、a >4 4、1 5、充分不必要 6、±2 7、]2,35( 8、),25(+∞ 9、0<m <1 10、x x 22+ 11、（0, 1）12、]813,(-∞ 13、9 14二：解答题15、解：}1,1{}01|{2-==-=x x A ，…………………………………………1分 因为A B A = ，所以A B ⊆，……………………………………………………2分 又因为φ≠B ，所以B={–1}，或B={1}，或B={–1，1}，……………………4分当B={–1}时，⎩⎨⎧=-=++0440212b a b a ，解得：⎩⎨⎧=-=11b a ………………………………………7分当B={1}时，⎩⎨⎧=-=+-0440212b a b a ，解得：⎩⎨⎧==11b a …………………………………………10分当B={–1，1}时，⎩⎨⎧=+-=++021021b a b a ，解得：⎩⎨⎧-==10b a ，………………………………13分综合得：⎩⎨⎧=-=11b a 或⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-==10b a 。

………………………………………………14分16、解：（1）因为函数)(x f 是偶函数，所以)()(x f x f -=，即x x xxa a a a λλ+=+--，所以)(x x xxa a aa ---=-λ，解得：λ=1；……………………………………6分（2）由（1）得：xx xx xxaaa a aa a x f a a x f ln )1(ln ln )()(2-=-='+=--……9分 当0<a <1时，因为x >0，所以a x>0，0<a 2x<1，lna <0，所以xx a aa ln )1(2->0，即0)(>'x f 在),0(+∞上恒成立，则函数)(x f 在),0(+∞上是单调增函数；……11分当a >1时，因为x >0，所以a x>0，a 2x>1，lna >0，所以xx aaa ln )1(2->0， 即0)(>'x f 在),0(+∞上恒成立，则函数)(x f 在),0(+∞上是单调增函数；………13分 综合得：当a >0，且a ≠1时，函数)(x f 在),0(+∞上是单调增函数。

………………14分17、解：（1）由2256020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩ 解得6m =-………………………………4分6分9分10分12分 13分14分 15分18、解：（1）当a =1时，有0342<+-x x ，解得：31<<x ，……………………1分由⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x 解得：32≤<x ， ………………………………………………2分 因为q p ∧为真，所以p ，q 都为真， ………………………………………………3分则⎩⎨⎧≤<<<3231x x ，即32<<x ； …………………………………………………………5分（2）由（1）知：p ⌝：1≤x 或3≥x ，………………………………………………6分q ⌝：2≤x 或3>x ，……………………………………………………………………7分因为q p ∨为假，所以p ，q 只要有一个为假，…………………………………………8分 所以1≤x 或3≥x ；………………………………………………………………………10分 （3）因为a >0，所以由03422<+-a xa x 解得：a x a 3<<，……………………11分因为p ⌝是q ⌝充分不必要条件，所以q 是p 充分不必要条件，……………………13分 所以⎩⎨⎧>≤332a a ，解得：21≤<a 。

……………………………………………………15分19、解：（1）分别以l 2、l 1为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，……………1分 则M(2, 4), N(3, 9)；…………………………………………………………………………2分设MN 所在抛物线的方程为,2c ax y +=则⎩⎨⎧+=+=c a c a 9944，解得⎩⎨⎧==01c a ，………………5分故所求抛物线弧MN 的方程为2x y =（2≤x ≤3）；………………………………6分（2）设抛物线弧MN 上任意一点),(2x x P （2≤x ≤3）， 厂址为点)85)(,0(≤<t t A ， (8)由题意得：6)((2222≥-+=t x x PA 在]3,2[∈x 即0)6()21(224≥-+-+t x t x 在]3,2[∈x 9分 设u x =2，则]9,4[∈u ，从而0)6()21(22≥-+-+t u t u 在]9,4[∈u 上恒成立，……11分 因为对称轴]9,4[]215,29(212⊂∈-=t u ，………………………………………………12分 所以要使0)6()21(22≥-+-+t u t u 在]9,4[∈u 上恒成立， 只需0≤∆，即0)6(4)21(22≤---t t ，解得：425≥t ，则]8,425[∈t ，…………15分 所以t 的最小值为425，即该厂距离点O 的最近距离为25.6km 。

………………16分 20、解：(1) F (x )＝f (x )－g (x )＝e x －2x －m ，F ′(x )＝e x －2，………………………………2分故F (x )在(0，ln 2)上单调递减；在(ln 2，＋∞)上单调递增； ………………3分 因为F (x )＝e x －2x －m 在[0,2]上恰有两个相异实根，所以⎪⎩⎪⎨⎧>--=<--+>-=04)2(02ln 2)2(ln 01)0(2m e F m F m F ，解得：12ln 22<<-m ，故m 的取值范围是(2－2ln 2，1)。

………………………………………………7分(2) m ＝1－2n时，T (x )＝e x ⎝⎛⎭⎫n 2x ＋1－n 2(n ∈R )， ∴T ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫n 2x ＋1…………………………………………………………9分①当n ＝0时，T ′(x )＝e x ＞0，T (x )在[0,1]上为增函数，则此时T (x )max ＝T (1)＝e ；……10分 ②当n ＞0时，T ′(x )＝e x ·n2⎝⎛⎭⎫x ＋2n ，T (x )在⎝⎛⎭⎫－2n ，＋∞上为增函数， 故T (x )在[0,1]上为增函数，此时T (x )max ＝T (1)＝e ；……………………………………12分 ③当n ＜0时，T ′(x )＝e x ·n2⎝⎛⎭⎫x ＋2n ，T (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－2n 上为增函数， 在⎝⎛⎭⎫－2n ，＋∞上为减函数， 若0＜－2n ＜1，即n ＜－2时，故T (x )在[0，－2n ]上为增函数，在⎣⎡⎦⎤－2n ，1上为减函数， 此时T (x )max ＝T ⎝⎛⎭⎫－2n ＝e －2n (－1＋m )＝－2n ·e －2n ，……………………………………14分 若－2n ≥1，即－2≤n ＜0时，T (x )在[0,1]上为增函数，则此时T (x )max ＝T (1)＝e ；……15分综上所述：[T (x )]max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n e －2n ，n ＜－2，e ，n ≥－2.…………………………………………16分2013-2014年高三数学期初学前调查附加题1. 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b a A 21有一个属于特征值1的特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12. （1）求矩阵A ；（2）若矩阵⎥⎦⎤-⎢⎣⎡=1101B ，求直线10x y ++=先在矩阵A ，再在矩阵B 的对应变换作用下所得到的方程.2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S n =n 2a n （n ∈N *）. （1）试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； （2）证明你的猜想，并求出a n 的表达式.3. 某射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分。