③× (-1/5)
9
x1 3 x2 2 x 3 4 7 x 2 x 3 1 x2 x3 1

1 3 2 4 0 7 1 1 0 1 1 1
x1 3 x2 2 x 3 4 x2 x3 1 7 x 2 x 3 1
1 2 3 4 1 1 0 5 9 12 4 10 0 0 1 2 2 4 0 0 1 2 2 4
17
1 2 3 4 1 1 0 5 9 12 4 10 0 0 1 2 2 4 0 0 0 0 0 0
5
由原方程组化为阶梯形方程组的过程 称为消元过程 ，而由阶梯形方程组逐次求得各未知 量的过程称为回代过程 。 在求解过程中 ，对方程组反复施行了以下三种 变换 —— 称为方程组的初等变换 。
1. 交换两个方程的位置 。 2. 用一个非零数乘某个方程的两边 。 3. 用一个数乘某个方程加到另一个方程上 。
由最后一个矩阵可得原方程组的解 ： x1= 2 ,x2= 0 ,x3= -1 . (唯一解)
12
在求解未知量个数与方程个数不等的线性方程 组时 ，也可以用上述的矩阵形式 。
x1 3 x2 x3 x4 6 例2 . 解线性方程组 3 x1 x2 5 x3 3 x4 6 2 x x 2 x 2 x 8 2 3 4 1
x1 3 x 2 2 x3 4 7 x 2 x 3 1 5 x 2 5 x 3 5


②－①×3 ③－①×2

1 3 2 4 0 7 1 1 0 5 5 5

②－①×3 ③－①×2
③× (-1/5)
2
阶梯形矩阵 ， 它对应的阶梯 形方程组为
x1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 x 5 1 5 x 2 9 x 3 12 x 4 4 x 5 10 x 3 2 x4 2 x5 4
其中最后一个方程已化成 ‘ 0 = 0 ’ ，

(②, ③ ) ③－②×2
1 3 1 1 6 0 5 4 0 4 0 10 8 0 12

1 3 1 1 6 0 5 4 0 4 0 0 0 0 4
14
由阶梯形矩阵可得对应 的阶梯形方程组 x1 3 x 2 x 3 x4 6 x2 x3 4 这是一个矛盾方程组 ， 无解 。 0 4
x1 3 x 2 2 x3 4 1 解 ： 3 x 1 2 x 2 5 x 3 11 2 x1 x 2 x 3 3 符号-3表示第二个方 -3 -2 程减去第一个方程的 3 倍3

x1 3 x 2 2 x3 4 7 x 2 x 3 1 5 x 2 5 x 3 5
解 ：对方程组的增广矩阵 (是一个 3 ×5 的矩阵)施以 矩阵的初等行变换 ，将其化为阶梯形矩阵 ，过程 如下 ： 1 3 1 1 6 ②－①× 3 ③－①×2 3 1 5 3 6 2 1 2 2 8

13
1 3 1 1 6 0 10 8 0 12 0 5 4 0 4
利用矩阵的记号 ，例 1 的消元过程可以写成 如下形式 。
8
x1 3 x2 2 x3 4 3 x 1 2 x 2 5 x 3 11 2 x1 x2 x3 3

1 3 2 4 3 2 5 11 2 1 1 3
1 2 3 4 1 1 8 2 1 3 4 2 3 1 1 2 1 3 2 1 4 6 4 12
16
1 2 3 4 1 1 0 5 9 12 4 10 0 5 8 10 2 6 0 5 10 14 6 14
数表 ⑵ 中的横排称为行 ，纵排称为列 。这样的 三行四列数表就称为一个三行四列矩阵，简称 3 ×4 矩阵 ，且称其为线性方程组 ⑴ 的增广矩阵 。 7
对方程组⑴ 施以方程组的初等变换 ，就相当于对 矩阵 ⑵ 的各行施以相应的变换 ，它们都称为矩阵 的初等行变换 。
共有三类 ,
1 互换 i , j 两行 . 2 i 行乘数 k 0 . 3 i 行乘数 k 对应加到 j 行上 .
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
2 5 6 5 2 0
3 5 14 5 2 0
3 5 26 5 4 0
(这种阶梯形矩阵 称为简化阶梯 形矩阵，特点 是 ？)
21
3 2 3 x1 5 5 x4 5 x5 26 6 14 由简化阶梯形矩阵可得 x2 x4 x5 5 5 5 x 3 4 2 x4 2 x5 其中 x4 , x5为自由未知量 .
我们称 x 4 , x 5 为自由未知量 , 为了使未知量 x 1 , x 2 , x 3 都能用自由未知量表示,
我们继续对阶梯形矩阵(2)进行初等行变换 ，
19
4 1 1 1 2 3 ②+③×9 0 5 9 12 4 10 ①–③×3 0 0 1 2 2 4 ③×(-1) 0 0 0 0 0 0
说明该方程是“多余”的方程 ，不再写出 。 这个阶梯形方程组还可以写成下面的形式 。
18
x1 2 x2 3 x3 1 4 x4 x5 5 x2 9 x3 10 12 x4 4 x5 x 3 4 2 x4 2 x5
可以看出只要取定x 4 , x 5 的值 , 就可以唯一的 确定 x 1 , x 2 , x 3 的值 , 从而可以得到原方程组 的 一组解 . 所以原方程组有无穷多解 。
2
一：矩阵消元法 .
在中学里 ，我们已经学过用加减消元法 解二 , 三元线性方程组 ， 下面先看一个例子 。
x1 3 x 2 2 x3 4 例 1 . 解线性方程组 3 x 2 x 5 x 11 1 2 3 2 x1 x 2 x 3 3
1
3 x③+②×47 x 2x

1 2 3
x2 x3 1
为方程组1的解 .
x1 2 , x 2 0 , x 3 1 .

6 x3 6
这种形式的线 性方程组一般 称为阶梯形方 程组 , 特点是： 自上而下的各 个方程所含未 知量的个数 依次减少 。
方程组的初等变换具有可逆性 ， 即若方程组 ⑴ 经过方程组的初等变换 变为方程组 ⑵ ，则方程组 ⑵ 必可经过方程组的初等变换 还原 成方程组 ⑴ 。
6

在例 1 的求解过程中 ， 我们只对未知量的系数与常数项进行运算 ， 因此求解过程可以写的更简单 。 线性方程组 ⑴ 可以用下面的矩形数表来表示 ：
4 1 6
x1 2 , x2 0 , x3 1 .
最后一个矩阵称为 阶梯形矩阵 ，其特点是 ⑴ 自上而下的各行中 ，每行第一个非零元素 左边零的个数随行数的增加而严格增加 。 ⑵ 元素全为零的行 ( 如果有的话 ) 位于矩阵的下边 。
11

利用矩阵的初等变换, 还可以把回代过程 直接表示为如下 : 1 0 0 1 0 0 3 1 0 3 1 0 2
1
15
解 ：对方程组的增广矩阵 (是一个 4 ×6 的矩阵)施 以 矩阵的初等行变换 ，将其化为阶梯形矩阵 ， (下面我们给出简化过程) 8 2 1 3 4 2
1 2 3 4 1 1 3 1 1 2 1 3 2 1 4 6 4 12
1
第一节：矩阵消元法
本节主要介绍以下两点
一：矩阵消元法 —— 解线性方程组的一种最古老但 仍然被广泛使用的方法之一 。 (引入矩阵及矩阵的初等行，列变换) 二：线性方程组解的情况 —— 初探 。 * 矩阵消元法也被称为高斯消元法 ，但是我国古 代的算书《九章算术》中早已有了许多线性方程组 的应用题 ，而且有了解线性方程组的消元法 ，这 比高斯整整早了一千年 。
1 2 0 5 0 0 0 0
11 0 6 14 26 ②×(-1/5) 1 2 2 4 0 0 0 0 5
0 2
20
1 0 0 0
2 1 0 0
0 0 1 0
2 6 5 2 0
5 14 5 2 0
11 26 ①–②×2 5 4 0
所以原方程组也无解 。
例 3 . 解线性方程组 2 x1 x2 3 x 3 4 x4 2 x5 8 x1 2 x2 3 x 3 4 x4 x5 1 3 x1 x 1 x 3 2 x4 x5 3 2 x x 4 x 6 x 4 x 12 1 2 3 4 5

(②, ③)

1 3 2 4 0 1 1 1 0 7 1 1

(②, ③)

③+②×7

③+②×7
10
x1 3 x2 2 x 3 4 x2 x3 1 6 x3 6

1 0 0
3 1 0
2 1 6
接上面的最后一个阶梯形矩阵
4 1 3 2 4 1 1 0 1 1 1 0 0 1 6 6 1 0 2 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1