【解析】 【分析】 根据点 E、F 在边 AB、AC 上，可知当点 E 与点 B 重合时，CP 有最小值，当点 F 与点 C 重 合时 CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得. 【详解】 如图，当点 E 与点 B 重合时，CP 的值最小，
此时 BP=AB=3，所以 PC=BC-BP=4-3=1， 如图，当点 F 与点 C 重合时，CP 的值最大，
∵AB=5 ，∠BAC=45°，∴BH= =
5．
∵BM+MN 的最小值是 BM+MN=BM+MH=BH=5． 故答案为 5．
【点睛】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通 过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
3．如图， ABC 中， BAC 90， AD BC ， ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 F ， AG 平分 DAC ．给出下列结论：① BAD C ；② EBC C ；③ AE AF ； ④ FG//AC ；⑤ EF FG ．其中正确的结论是______．
∴EF 不一定等于 AE，
∴EF 不一定等于 FG，
故⑤错误．
故判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形
的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．
4．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是 _____．
八年级全等三角形单元测试卷附答案
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点 E，F 分别在边 AB，AC 上，将△AEF 沿直 线 EF 翻折，点 A 落在点 P 处，且点 P 在直线 BC 上．则线段 CP 长的取值范围是____.
【答案】1 CP 5
此时 CP=AC， Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得 AC=5，所以 CP 的最大值为 5， 所以线段 CP 长的取值范围是 1≤CP≤5， 故答案为 1≤CP≤5.
【点睛】 本题考查了折叠问题，能根据点 E、F 分别在线段 AB、AC 上，点 P 在直线 BC 上确定出点 E、F 位于什么位置时 PC 有最大（小）值是解题的关键.
，
B C BAC 20 由三角形内角和定理得 B C BAC 180， BAC 20 BAC 180
， BAC 100 . 故答案为 80 或 100.
【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角 形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二 种情况，出现漏解.
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】 易证△ ABE≌ △ DBC，则有∠BAE＝∠ BDC，AE＝CD，从而可证到△ABF≌ △ DBG，则有 AF＝DG，BF＝BG，由∠FBG＝60°可得△BFG 是等边三角形，证得∠BFG＝∠ DBA＝60°， 则有 FG∥ AC，由∠ CDB≠30°，可判断 AD 与 CD 的位置关系． 【详解】 ∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∴ BD＝BA＝AD，BE＝BC＝EC，∠ ABD＝∠ CBE＝60°． ∵点 A、B、C 在同一直线上，∴ ∠ DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴ ∠ ABE＝∠ DBC＝120°． 在△ABE 和△DBC 中，
2．如图，在锐角△ABC 中，AB=5 ，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M，N 分 别是 AD，AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是______．
【答案】5 【解析】 【分析】 作 BH⊥AC，垂足为 H，交 AD 于 M 点，过 M 点作 MN⊥AB，垂足为 N，则 BM+MN 为所求 的最小值，再根据 AD 是∠BAC 的平分线可知 MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得 出结论． 【详解】 如图，作 BH⊥AC，垂足为 H，交 AD 于 M 点，过 M 点作 MN⊥AB，垂足为 N，则 BM+MN 为所求的最小值． ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴MH=MN，∴BH 是点 B 到直线 AC 的最短距离（垂线段最 短）．
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平 行线的判定和性质，证得△ABE≌ △ DBC 是解题的关键．
8．等腰三角形一边长等于 4，一边长等于 9，它的周长是__． 【答案】22 【解析】 【分析】 等腰三角形有两条边长为 4 和 9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要 应用三角形的三边关系验证能否组成三角形； 【详解】 解：因为 4+4=8<9，0<4<9+9=18， ∴腰的不应为 4，而应为 9， ∴等腰三角形的周长=4+9+9=22. 故答案为 22. 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将
由三角形内角和定理得 B C BAC 180， BAC 20 BAC 180
，
BAC 80
；
（2）图 2 中，根据垂直平分线性质可知， BD AD, AE CE ， B 3, C 4
（等边对等角），
两式相加得 B C 3 4 ， 又 3 4 DAE BAC ， 3 4 BAC DAE BAC 20
【答案】80 或 100 【解析】 【分析】 根据题意，点 D 和点 E 的位置不确定，需分析谁靠近 B 点，则有如下图（图见解析）两种 情况：（1）图 1 中，点 E 距离点 B 近，根据垂直平分线性质可知，
BD AD, AE CE ，从而有 B 1 DAE,C 2 DAE ，再根据三角形的 内角和定理可得 B C BAC 180，联立即可求得；（2）图 2 中，点 D 距离点 B 近，根据垂直平分线性质可知， BD AD, AE CE ，从而有 B 3,C 4 ，由三 角形的内角和定理得 B C BAC 180，联立即可求得.
7．如图，点 A,B,C 在同一直线上,△ ABD 和△ BCE 都是等边三角形，AE,CD 分别与 BD,BE 交 于点 F,G，连接 FG，有如下结论：①AE=CD ②∠ BFG= 60°；③EF=CG；④AD⊥CD⑤FG ∥ AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)
ABN GBN
∵ BN BN
，
ANB GNB 90
∴△ ABN≌△ GBN（ASA），
∴AN=GN，
又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，
∴△ANE≌△GNF（SAS），
∴∠NAE=∠NGF，
∴GF∥AE，即 GF∥AC，
故④正确；
∵AE=AF，AE=FG，
而△ AEF 不一定是等边三角形，
【详解】 由题意可分如下两种情况：
（1）图 1 中，根据垂直平分线性质可知， BD AD, AE CE ， B 1 DAE,C 2 DAE
（等边对等角），
两式相加得 B C 1 DAE 2 DAE ， 又 1 2 DAE BAC B C BAC DAE BAC 20
，
若∠EBC=∠C，则∠C= 1 ∠ABC， 2
∵∠BAC=90°， 那么∠C=30°，但∠C 不一定等于 30°， 故②错误； ∵BE、AG 分别是∠ABC、∠DAC 的平分线， ∴∠ABF=∠EBD， ∵∠AFE=∠BAD+∠ABF，∠AEB=∠C+∠EBD， 又∵∠BAD=∠C， ∴∠AFE=∠AEF， ∴AF=AE， 故③正确； ∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE， ∴AN⊥BE，FN=EN， 在△ ABN 与△ GBN 中，
所以 AC=AE+DE+CD=DE+CD+CF=DE+DF=2DE，所以 DE= 1 AC= 1 . 22
【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C，则
∠C= 1 ∠ABC，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于 30°，故②错误；③ 2
由 BE、AG 分别是∠ABC、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，得到∠AFE=∠AEB，可得③正确；④连接 EG，先证明△ ABN≌△GBN，得到 AN=GN，证出△ANE≌△GNF，得∠NAE=∠NGF，进 而得到 GF∥AE，故④正确；⑤由 AE=AF，AE=FG，而△ AEF 不一定是等边三角形，得到 EF 不一定等于 AE，于是 EF 不一定等于 FG，故⑤错误． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD⊥BC， ∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C， 故①正确；
BD BA ∵ ABE DBC ，∴ △ ABE≌ △ DBC，∴ ∠ BAE＝∠ BDC，∴ AE＝CD，∴ ①正确；
BE BC
在△ABF 和△DBG
BAF BDG
中，
AB
DB
，∴ △ ABF≌ △ DBG，∴ AF＝DG，BF＝BG．
ABF DBG 60
∵ ∠ FBG＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴ △ BFG 是等边三角形，∴ ∠ BFG=60°，∴ ②正确； ∵ AE＝CD，AF＝DG，∴ EF=CG；∴ ③正确； ∵ ∠ ADB＝60°，而∠CDB=∠ EAB≠30°，∴ AD 与 CD 不一定垂直，∴ ④错误． ∵ △ BFG 是等边三角形，∴ ∠ BFG=60°，∴ ∠ GFB＝∠ DBA＝60°，∴ FG∥ AB，∴ ⑤正确． 故答案为①②③⑤． 【点睛】
的最小值，再根据 BC= 32 ，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC 可知△BCE 是等腰直角三角形，由