《全等三角形》一、填空题１，命题“垂直于同一条直线的两直线平行”的题设是___________________________，结论是_______________________________________.２，定理“如果直角三角形两直角边分别是a 、b ，斜边是c ，那么a 2+b 2＝c 2.即直角三角形的两直角平方和等于斜边的平方”的逆定理是_________________________________________________________________________..３，如图1，根据SAS ，如果AB ＝AC ， ＝ ，即可判定ΔABD ≌ΔACE .４，如图2，BD 垂直平分线段AC ，AE ⊥BC ，垂足为E ，交BD 于P 点，PE ＝3cm ，则P 点到直线AB 的距离是_____________.５，如图3，在等腰Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于D ，若AB ＝10，则△BDE 的周长等于＿＿＿＿.７，如图5，AD ＝AE ，∠1＝∠2，BD ＝CE ，则有△ABD ≌ ，理由是 .８，如图6，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，D 、E 、F 是垂足，BD ＝CD ，那么图中的全等三角形有_______对.二、选择题（每题2分，共20分） 1，下列命题中，真命题是（ ）A.相等的角是直角B.不相交的两条线段平行C.两直线平行，同位角互补D.经过两点有具只有一条直线 ２，如图7所示，若△ABE ≌△A CF ，且AB ＝5，AE ＝2，则EC 的长为（ ）A.2B.3C.5D.2.5３，如图8所示，∠1＝∠2，BC ＝EF ，欲证△ABC ≌△DEF ，则还须补充的一个条件是（ ）A.AB ＝DEB.∠ACE ＝∠DFBC.BF ＝ECD.∠ABC ＝∠DEF图2E C DPA B图3E DCBAED A B C 1 2 图5 图1E DCB A图6 AF (8)C E B D 图7FE C B A 图8４，如图9，△ABC 是不等边三角形，DE ＝BC ，以D 、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可画出（ ）A.2个B.4个C.6个D.8个５，如图10，△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为BC 中点，则以下结论不正确的是（ ） A.△ABD ≌△ACD B.∠B ＝∠CC.AD 是∠BAC 的平分线D.△ABC 是等边三角形６，如图11，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，AC 、BD 交于E 点，下列结论中不正确的是（ ） A.∠DAE ＝∠CBE B.CE ＝DE C.△DEA 不全等于△CBE D.△EAB 是等腰三角形７，如图12，在△ABC 中，AB ＞AC ，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，AB ＝10，△BCD 的周长为18，则BC 的长为（ ）A.8B.6C.4D.2 三、解答题（共40分）.1，如图14，BP 、CP 是△ABC 的外角平分线，则点P 必在∠BAC 的平分线上，你能说出其中的道理吗？ 2，如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC ＝AD ，求证：AB ＝BE .3，如图16，工人师傅制作了一个正方形窗架，把图14A PBC A BCD图10 图9 B图11 2(12)C BA 1E D A 图12窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF 与GE ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点.（1）G 点一定是AB 的中点吗？说明理由； （2）钉这两块木条的作用是什么？4，如图17，已知点A 、E 、F 、D 在同一条直线上，AE ＝DF ，BF ⊥AD ，CE ⊥AD ，垂足分别为F 、E ，BF ＝CE ，试说明AB 与CD 的位置关系. 四、综合题（共20分）６，如图18，已知当物体AB 距凸透镜为2倍焦距，即AO ＝2f 时，成倒立的等大的像A ′B ′.求像距OA ′与f 的关系.７如图20，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠DCB ，AB ＝DC ，AE ＝DF . （1）试说明BF ＝CE 的理由. （2）当E 、F 相向运动，形成如图21时，BF 和CE 还相等吗？请说明你的结论和理由.９，已知：如图22，AB ＝AC ，DB ＝DC ，（1）若E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，求证：EF ＝FG .（2）若连结AD 、BC 交于点P ，问AD 、BC 有何关系？证明你的结论.１０，如图23，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，有下面四个论断：（A ）AD ＝CB ，（B ）AE ＝CF ，（C ）∠B ＝∠D ，（D ）AD ∥BC .请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，遍一道数学题，并写出解答过程.（一）填空1．在下面证明中，填写需补充的条件或理由，使结论成立． 证明：如图3-30，在△ABC 和△CDA 中， ∵AB ＝CD （已知）， ∠1＝∠2（已知）， ______ = ______ ， ∴△ABC ≌△CDA （ ）．图19 ADBCEFA （E ）D （F ）BC图21 图20 G F E D CB A 图16 A O BB 'A '图18 图17 A F C E BD 图23 A B C DEF 图22 AB CD E F H G∴ ______ = ______ ．∴AD∥BC．2．如图3-31，已知B′C′过A且平行于BC，C′A′过B且平行于AC，A′B′过C且平行于AB．则△ABC，△BAC′，△A′CB，△CB′A必定 ______ ．3．如图3-32，AO平分∠BAC，AB=AC．图中有 ______ 对三角形全等．（二）选择4．在△ABC和△A′B′C′中，甲：AB=A′B′；乙：BC=B′C′；丙：AC=A′C′；丁：∠A=∠A′；戊：∠B=∠B′；己：∠C=∠C′．则不能保证△ABC≌△A′B′C′成立的条件为（）A．甲、乙、丙 B.甲、乙、戊 C.甲、丙、戊 D.已、戊、己5．如图3-33，已知△ABD和△ACE均为等边三角形，那么△ADC≌△AEB的根据是（）A．边边边； B．边角边； C．角边角； D.角角边.6．如图3-34，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下列式子中错误的是（）A．△ABD≌△EBC； B．△NBC≌△MBD；C．△ABD＝△EBC； D．△ABE≌△BCD．（三）证明7．已知：如图3-35，∠1＝∠2，∠ABC＝∠DCB．求证：AB＝DC．8．已知：如图3-36，在△ABC中，AD是BC边上的高，AD＝BD，DE＝DC，延长BE交AC于F．求证：BF是△ABC的AC边上的高．9．已知：如图3-37，AB＝CD，BE＝DF，AE＝CF．求证：AO＝CO，EO＝OF．10．已知：如图3-38，AD，EF，BC相交于O点，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝OF．求证：△AEB≌△DFC．11．已知：如图3-39，∠D＝∠E，DN＝CN＝EM＝AM．求证：点B是线段AC的中点．12．已知：如图3-40，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：∠B＝∠C．13．已知：如图3-41，AC，BD相交于O点，且AC＝BD，AB＝CD．求证：OA＝OD．14．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AD⊥EF．15．已知：如图3-42，AB＝DC，AD＝BC，O是DB的中点，过O点的直线分别交DA和BC的延长线于E，F．求证：∠E＝∠F．16．已知：如图3-43，∠1=∠2，AD=AE．求证：OB=OC．17．已知：如图3-44，AB=DC，∠ABC=∠DCB．求证：∠BAD=∠CDA．18．已知：如图3-45，E在AC上，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：BE=DE．19．已知：如图3-46，AB=CD，AD=BC，AO=OC，EF过O点．求证：OE=OF．20．已知：如图3-47，A，F，C，D在一条直线上，AB=DE，BC=EF，AF=CD．求证：BF=CE．21．已知：如图3-48，D是△ABC的边BC上的一点，且CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC=2AE．22．已知：如图3-49，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC过E点交AD于D，交BC 于C．求证：AD＋BC=AB．23．求证：三角形一边的两个端点到这边上的中线的距离相等．24．已知：如图3-50，AB=DE，直线AE，BD相交于C，∠B＋∠D=180°，AF∥DE，交BD于F．求证：CF=CD．一、选择题1．下列三角形不一定全等的是（）A．有两个角和一条边对应相等的三角形B．有两条边和一个角对应相等的三角形C．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形D．三条边对应相等的两个三角形2．下列说法：①所有的等边三角形都全等②斜边相等的直角三角形全等③顶角和腰长对应相等的等腰三角形全等④有两个锐角相等的直角三角形全等其中正确的个数是（）FED CB A A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 3.如图，AB 平分∠CAD ，E 为AB 上一点，若AC=AD ， 则下列结论错误的是（ ） A.BC=BD B.CE=DEC.BA 平分∠CBDD.图中有两对全等三角形4.AD 是△ABC 的角平分线，自D 向AB 、AC 两边作垂线，垂足为E 、F ，那么下 列结论中错误的是 ( )A.DE=DFB.AE=AFC.BD=CDD.∠ADE=∠ADF5.在△ABC 中，∠B=∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是130°，那么△ABC 中与这个 角对应的角是（ ）．A ．∠AB ．∠BC ．∠CD ．∠B 或∠C6.如图所示，BE ⊥AC 于点D ，且AD=CD ，BD=ED ，若∠ABC=54°，则∠E=（ ）．A ．25°B ．27°C ．30°D ．45° 7.如右图，△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE⊥AB，且AB ＝10 cm ，则△BED 的周长为( ) A ．5 cm B ．10 cm; C ．15 cm D ．20 cm8．如图，AB=AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，则①△ABE ≌△ACF ；②△BOF ≌△COE ；③点O 在∠BAC 的角平分线上，其中正确的结论有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个9.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过B 作BE ⊥AD 于E ，过E作EF ∥AC 交AB 于F ，则( ) A 、AF=2BF; B 、AF=BF; C 、AF>BF; D 、AF<BF10.全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等(合同)三角形，点A 与点A 1对应，点B 与点B 1对应，点C 与点C 1对应，当沿周界A→B→C→A，及A 1→B 1→A 1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图11)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°(如图13)，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )E D CBAD A CE B CBA EF O二、填空题1.如果△ABC≌△A’B’C’，若AB ＝A’B’，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠A’＝ °2.如图2-1，若BD ⊥AE 于B ，DC ⊥AF 于C ，且DC=DB ，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则 ∠DGF=________。