2018-2019学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试题2019.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2}A =，{|02}B x x =<<，则A B =I ( )（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{02}x x <≤（2）已知向量(,6)m =a ，(1,3)=-b ，且a b P ，则m = ( )（A ）18 （B ）2 （C ）18- （D ）2-（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是 （ ）（A ）()2x f x -= （B ）3()f x x = （C ）()lg f x x = （D ）()sin f x x =（4）命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是 （ ）（A ）22,10x x ∀>-≤ （B ）22,10x x ∀≤->（C ）22,10x x ∃>-≤ （D ）22,10x x ∃≤-≤（5）已知3tan 4α=，sin 0α<，则cos α= （ ） （A ）35 （B ）35- （C ）45 （D ）45- （6）若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是（ ）（A ）sin α （B ）cos α（C ）tan α（D ）sin(π)α+（7）为了得到函数πsin()3y x =--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（ ）（A ） 向左平移2π3个单位长度 （B ） 向左平移π3个单位长度 （C ） 向右平移π3个单位长度 （D ） 向右平移5π3个单位长度（8）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α. 则下列关于函数()f α的说法正确的是（ ）（A ）()f α的定义域是π{|2π,}2k k αα≠+∈Z （B ）()f α的图象的对称中心是π(π,0),2k k +∈Z（C ）()f α的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k +∈Z （D ）()f α对定义域内的α均满足(π)()f f αα-= 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知()ln f x x =，则2(e )f = .（10）已知(1,2)=a ，(3,4)=b ，则⋅=a b ______；2-=a b ______.（11）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5}B =，集合S 满足S A ¹Ì，S B A =U .则一个满足条件的集合S 是 .（12）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ³时，()f x x =，则不等式()20f x ->的解集是 .（13）如图，扇形AOB 中，半径为1，»AB 的长为2，则»AB 所对的圆心角的大小为 弧度；若点P 是»AB 上的一个动点，则当OA OP OB OP ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r取得最大值时，,OA OP <>=u u u r u u u r . （14）已知函数122, ,()2,.x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+≥⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是________；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =.在①12-； ②12；③1；⑤32中，函数()f x 的包容数是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）BO三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分） 已知函数π()2sin(2)3f x x =+. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66f x x T ∈--+的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值范围.(16)（本小题共10分）已知函数2()f x x bx c =++，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x -=.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用单调性定义证明； （Ⅲ）直接写出(3)c f 与(2)c f 的大小关系.(17)（本小题共11分）如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，90D ∠=︒，且1BO AD ==u u u r u u u r. （Ⅰ）用,OA OB u u u r u u u r 表示CB u u u r；（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值.(18)（本小题共12分）设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的ℱ区间.（Ⅰ）判断(,)-∞+∞是否是函数31xy =+的ℱ区间;（Ⅱ）若1[,2]2是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，求a 的取值范围; （Ⅲ）设ω为正实数，若[π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，求ω的取值范围.附加题：（本题满分5分。

所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分） 声音靠空气震动传播，靠耳膜震动被人感知.声音可以通过类似于图①和图②的波形曲线来描述，图①和图②是一位未成年女性和一位老年男性在说“我爱中国”四个字时的声波图，其中纵坐标表示音量（单位：50分贝），横坐标代表时间（单位：52.310-⨯秒）.声音的音调由其频率所决定，未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍.下面的图③和图④依次为上面图①和图②中相同读音处的截取的局部波形曲线，为了简便起见，在截取时局部音量和相位做了调整，使得二者音量相当，且横坐标从0开始.已知点()800,0位于图④中波形曲线上.（Ⅰ）描述未成年女性声音的声波图是_____；（填写①或②）（Ⅱ）请你选择适当的函数模型()[],0,2000y f x x =∈来模仿图④中的波形曲线：()f x =___________________________（函数模型中的参数取值保留小数点后2位）.高一年级期末统一练习数 学参考答案及评分标准 2019．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.（9）2 （10）11（11）{1,2,3,4}（或{1,2,4,5}或{1,2,4}） （12）{|1,x x <-或1}x > （13）2；0 （14）0a <或2a >；②③ 注：两空的题，每空2分；（12）题对一半（只答出1x <-，或1x > ），给2分；（14）题第一空，答对一半给1分，第二空，有错选，此空得0分，若只少选一个给1分。

三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分11分） 解：（Ⅰ）2ππ2T ==. ……………………2分 （Ⅱ）由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z 得 ……………………4分 5ππππ1212k x k -+≤≤+， k ∈Z . 所以 函数()f x 的单调递增区间是：5ππ[π,π]1212k k -++，k ∈Z . ……………………6分（Ⅲ）函数ππ()([,])66f x x T ∈--+的简图如图所示. ……………………8分函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值范围是[-. ……………………11分注：[-中每一个端点正确给1分，括号正确1分。

（16）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为 实数0x 使得00(2)()f x f x -=，所以 220000(2)(2)x b x c x bx c -+-+=++， ……………………1分即0(24)(1)0b x +-=. 因为 01x ≠，所以 240b +=，即2b =-. ……………………3分 经检验，2b =-满足题意，所以 2b =-.（Ⅱ）函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，证明如下： ……………………4分 任取1x ，2x (1,)∈+∞，当12x x <时，12120,20x x x x -<+->.所以 1212()(2)0x x x x -+-<. ……………………6分所以 22121122()()2(2)f x f x x x x x -=--- ……………………7分2212121212(22)()(2)0x x x x x x x x =---=-+-<，即12()()f x f x <.所以 函数()f x 在(1,)+∞上单调递增. ……………………8分 （Ⅲ）当0c =时，(3)(2)c c f f =；当0c ≠时，(3)(2)c c f f >. ……………………10分注：直接答(3)(2)c c f f ≥，给2分；若只有(3)(2)c c f f >，给1分。

（17）（本小题满分11分）（Ⅰ）因为 2OA AD =u u u r u u u r，所以32DO AO=u u u r u u u r……………………1分因为 2CD BO =u u u r u u u r ，所以=++CB CD DO OBu u u r u u u r u u u r u u u r……………………3分322BO AO OB =++u u u r u u u r u u u r32OA OB =--u u ur u u u r . (5)分（Ⅱ）因为 2CD BO =u u u r u u u r，所以 OB CD P . ……………………6分因为 2OA AD =u u u r u u u r ，所以 点,,O A D 共线. 因为 90D ∠=︒， 所以 90O ∠=︒.以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.因为 1BO AD ==u u u r u u u r，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，所以 (2,0), (0,1), (3,2)A B C .所以 (1,2)AC =u u u r ，(2,1)AB =-u u u r. ……………………7分因为 点P 在线段AB 上，且3AB AP =，所以 121(,)333AP AB ==-u u u r u u u r . (8)分所以 55(,)33CP AP AC =-=--u u u r u u u r u u u r . (9)分因为 (3,1)CB =--u u u r，所以553cos 55CP CB PCB CP CB +⋅∠===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r . ……………………11分 （18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）(,)-∞+∞不是函数31xy =+的ℱ区间，理由如下： ……………………1分因为 对(,)x ∀∈-∞+∞，30x>，所以 311x+>. ……………………2分 所以 12,(,)x x ∀∈-∞+∞均有12(31)(31)2x x+++>， 即不存在12,(,)x x ∈-∞+∞，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=.所以 (,)-∞+∞不是函数31xy =+的ℱ区间. ………………………3分 （Ⅱ）由1[,2]2是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，可知 存在121,[,2]2x x ∈，12x x ≠，使得12log log 2a a x x +=.所以 212x x a =. ……………………4分因为 121212,212,2,x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪≠⎪⎪⎩所以 12144x x <<，即2144a <<. ……………………5分又因为 0a >且1a ≠，所以 1(,1)(1,2)2a ∈U . ……………………6分（Ⅲ）因为 [π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，所以 存在12,[π,2π]x x ∈，12x x ≠，使得12cos cos 2x x ωω+=. 所以 12cos 1,cos 1.x x ωω=⎧⎨=⎩ ……………………7分所以 存在,k l ∈Z ，使得122π,2π.x k x l ωω=⎧⎨=⎩不妨设12π2πx x ≤<≤. 又因为 0ω>， 所以 12π2πx x ωωωω≤<≤. 所以 222k l ωω≤<≤.即在区间[,2]ωω内存在两个不同的偶数. ……………………8分①当4ω≥时，区间[,2]ωω的长度24ωω-≥，所以 区间[,2]ωω内必存在两个相邻的偶数，故4ω≥符合题意.……………………9分 ②当04ω<<时，有02228k l ωω<≤<≤<， 所以 2,2{2,4,6}k l ∈.（i ）当24,26k l =⎧⎨=⎩时，有4,62,ωω≤⎧⎨≤⎩即34ω≤≤.所以 34ω≤<也符合题意. ……………………10分（ii ）当22,24k l =⎧⎨=⎩时，有2,42,ωω≤⎧⎨≤⎩即2ω=.所以 2ω=符合题意. （iii ）当22,26k l =⎧⎨=⎩时，有2,62,ωω≤⎧⎨≤⎩即2,3.ωω≤⎧⎨≥⎩此式无解.综上所述，ω的取值范围是{2}[3,)+∞U . ……………………12分 附加题（Ⅰ）②……………………2分（Ⅱ）cos0.03x（答案不唯一）……………………5分注：对于其它正确解法，相应给分.。