设 t 0 时 x ， x 0 ， v v 0 x A nconst ()
x0Asin; v0Ancos
A
x02v022 n
,tannx0
v0
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§4-1 单自由度系统的自由振动
例4-1 如图所示，质量为m = 0.5kg的物块沿光滑斜面无初速度 滑下。当物块下落高度h = 0.1m时撞于无质量的弹簧上并与弹
x

mg
方程解表示为 xC 1co nts C 2sin n t
C1、C2为积分常数，由初始条件确定
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§4-1 单自由度系统的自由振动
方程解表示为 xC 1co nts C 2sin n t
设A C12C2 2
tanC1
C2
l0 st
微分方程的解 xAsi nnt()
弹性力F
h
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§4-1 单自由度系统的自由振动
⑷ 系统振动的固有频率
物块沿x轴的运动微分方程 mdd22 xtmsgink(0x)
0

mgsin
k
mdd2t2x kx
固有频率与斜面倾角β无关
固有频率 n
k 0.81000
m
0.5
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§4-1 单自由度系统的自由振动
固有频率的确定方法：
方法一: n
k m
方法二：弹簧质量系统平衡时 mgkst

k m


g
st
n

g
st
方法三：已知系统的运动微分方程 Add2t2x Bx0
n
B A
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§4-1 单自由度系统的自由振动
⑵ 振幅与初位相
简谐振动表达式 xAsi nnt()
振 幅 A — 相对于振动中心点O的最大位移
相位角 nt — 决定质点在某瞬时t 的位置 初相位 — 决定质点运动的起始位置
自由振动的振幅A 和初相位θ是两个待定常数， 它们由运动的初始条件确定。
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§4-1 单自由度系统的自由振动
简谐振动表达式 xAsi nnt()
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§4-1 单自由度系统的自由振动
无阻尼自由振动微分方程
d2x dt2
n2x

0
解为 xAsi nnt()
角度周期为2π，有 [ n (t T ) ] ( n t ) 2
则自由振动的周期为 T 2 n
n
212f
T
其中 f 1 — 频率 每秒振动次数(1/s,Hz赫兹) T
7 隔振
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§4-1 单自由度系统的自由振动
一、自由振动微分方程
模型：弹簧质量系统
（弹簧原长l0,刚性系数k）
l0
在重力作用下弹簧变形δst为
st
静变形，该位置为平衡位置。
Ox
平衡
Fst kst mgkst
st

mg k
x
Fst F mg mg
取重物平衡位置O点为坐标原点，x 轴铅直向下为正;
Ox
无阻尼自由振动是简谐振动
x
运动图线
x
A x0
Ot n
t t+T
F
mg
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§4-1 单自由度系统的自由振动 二、无阻尼自由振动的特点
1、固有频率 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动 任意t 时刻的运动规律为 x(t)x(tT) — 周期函数 T — 周期 单位：秒 (s) 无阻尼自由振动经过时间T后又重复原来的运动
簧不再分离。弹簧刚度k = 0.8 kN/m，倾角β= 30°，求此系统
振动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。
解:⑴ 取质量弹簧系统为研究对象
物块在平衡位置时，弹簧变形量
0

mgsin
k
⑵ 以物块平衡位置O为原 x
0
k 0
F

O
mg
mg FN
点，取x轴如图
重力mg
⑶ 物块在任意位置x处受力 斜面约束力FN
按振动系统的自由度
单自由度系统的振动 多自由度系统的振动 弹性体的振动
按振动产生原因
自由振动 无阻尼自由振动
有阻尼自由振动
强迫振动 无阻尼的强迫振动
有阻尼的强迫振动
自激振动
本章只研究单自由度系统和两自由度系统的振动。
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第四章 机械振动基础
1 单自由度系统的自由振动 2 计算固有频率的能量法 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 6 转子的临界转速
n 2f — 圆频率 2π秒内振动次数(rad/s,弧度/秒)
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§4-1 单自由度系统的自由振动

2 n

k m
n
k — 固有圆频率 m
自由振动的圆频率ωn只与表征系统本身特性的质 量m 和刚度k有关，而与运动的初始条件无关，它是
振动系统的固有特性 。
固有频率是振动理论中的重要概念，它反映了 振动系统的动力学特性，计算系统的固有频率是研究 系统振动问题的重要课题之一。
令
n2

k m
dd2t2x n2x 0
—
无阻尼自由振动微 分方程的标准形式
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§4-1 单自由度系统的自由振动
d2x dt2
n2x

0
—
二阶齐次线性常 系数微分方程
l0
设xert
st
代入微分方程得特征方程 r2 n2 0 O x
F
两个根为 r1in;r2in
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§4-1 单自由度系统的自由振动
由m P;k P
g
st
n

k m
g
st
若已知无阻尼自由振动系统在重力作用下的静变 形，就可求得系统的固有频率。
如：我们可以根据车厢下面弹簧的压缩量来估算车厢 上下振动的频率。
满载车厢的弹簧静变形比空载车厢大，则其振动 频率比空载车厢低。
弹簧力 Fk(xst)
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§4-1 单自由度系统的自由振动
m k gs;tF k(xs)t
由质点运动微分方程可得
l0
mdd22xt mgk(stx) mgkst
st
Ox
kx — 恢复力
F
（始终指向原点）
x
mg
只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动。
理论力学
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第四章 机械振动基础
说话，声带振动 听声，耳膜振动
振动: 物体在平衡位置附近往复运动
利：振动给料机 振动筛 振动沉拔桩机
弊：磨损,减少寿命,影响强度 引起噪声,影响劳动条件 消耗能量,降低精度
研究振动的目的： 消除或减小有害振动，充分利用有利振动。
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第四章 机械振动基础