2015年数学建模论文第二套题目：人口增长模型的确定专业、姓名：自动化强晓鹏提交日期：2015.7.3题目：人口增长模型的确定摘要人口预测是制定正确的人口政策的科学依据。

预测人口增长的数学模型通常采用 3 种函数 ,即指数函数、Logistic函数和双曲函数[5]。

3种模型的数学根源都在于二阶 Bernoulli 式微分方程。

文章用matlab等软件对美国1790-1980年的人口数据情况进行研究和处理，得到其人口增长所符合的不同模型结果，并探讨是否预测合理。

同时，根据走势预测了之后几十年的人口总数。

为控制人口发展提供了可靠依据。

关键词：美国人口模型matlab 马尔萨斯模型logistic模型一、问题重述：图表中给出的是1790-1980年间美国每隔10年的人口记录情况，从表中可以看出美国人口基本呈增长趋势。

由此，1.将表中的数据进行处理建立马尔萨斯（Malthus）人口指数增长模型。

2.进行分析预测接下来每隔十年的五次人口数量。

3.查阅实际数据与预测的数据进行对比。

4.马尔萨斯指数增长模型是否合理，尝试采用其他模型进行分析。

二、问题分析：首先，我们用matlab软件进行编程（见附录1），绘制出1790-1980年美国人口数据图，如图1。

图1. 1790-1890年美国人口增长数据图从图1可以看出1790年到1980年的人口是呈增长的趋势的，而且类似指数增长。

马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比，其数学模型为dx（t）=rx(t)dt=x0（1）x（t0）其中r为常数。

则方程组（1）的的解为x t=x0e r（t−t0）（2）由此可看出，马尔萨斯生物总数增长定律指出任何生物都是随时间按指数方式增长的。

在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。

人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。

根据马尔萨斯模型进行分析预测，如果预测值与实际值有差别，那么可以改进该模型或者使用其他模型（Logistic）。

三、问题假设：1、马尔萨斯人口增长模型假设马尔萨斯指数增长模型可以正确并能合理的预测出未来几十年内美国人口数量的变化情况，即满足马尔萨斯指数增长的两个前提：第一，食物是人类生存所必需的；第二，两性间的情欲是必然的，而且几乎保持现状。

从这两个固定法则可以得出一个最基本的经济比例：食物或生活资料的增长与人口之间的关系。

人口的增殖比生活资料增长的要快，人口是按几何级数增长的，而生活资料则只按算术级数增长。

假设人口增长率r保持不变。

按此模型进行分析处理，如果该模型不满足或者预测未来人口数量有误差，则采用Logistic等其他模型来解决并进行预测。

2、改进的马尔萨斯人口指数增长模型由于社会的快速发展，自然环境遭受严重破坏，人口的高速增长等一系列原因，人口的增长率不能按照马尔萨斯所假设为一个常数r不改变。

此时假设随着时间的推移，增长率r和时间t满足下列关系r=a-bx （3）其a，b为两个常数。

3、利用Logistic模型预测分析四、变量说明：r:人口增长率t：时间t0：数据起始时间x0∶当时间t=1790时的人口数量x t∶ t时刻的人口数量a,b均为常数num:人口预测值p：拟合值B,D,I,E分别表示种群出生率、死亡率、迁入率、迁出率k: 环境容纳量五、模型建立：1.常微分方程模型常微分方程模型是在种群水平上描述生物的生存与环境的关系，即研究某一生物群体或几种生物群体的数量或密度的变化规律。

若用x（t）表示t时刻某范围内一种群的数量或密度，将x（t）看作t的连续函数，则x（t）的变化与出生、死亡、迁入和迁出等因素有关。

若用B、D、I、E分别表示种群的出生率、死亡率、迁入率、迁出率，则种群数量或密度变化的一般模型是：dx=B−D+I−Edtx(t0)=x0(4)以下几个模型基本根据这个原理建立的。

（1）马尔萨斯（Malthus）模型马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N(t)考虑到一个国家或地区的人口总数,对于一个国家而言，迁入率和迁出率相对很小，即人口变化率与出生率和死亡率有关。

这样可设B-D=rx，即人口出生率和死亡率与总人口成正比，这个比例常熟r为自然增长率。

其数学模型为dx（t）=rx(t)dt=x0（5）x（t0）方程（5）的解为x(t)=x0e r(t−t0),一般以年为间隔考察人口变化情况，即取t-t0=0,1,2,¨¨,n, ¨¨,这样就得到以后各年人口总数为x0e r，x0e2r，x0e3r，¨¨x0e nr，¨¨，这表明人口以公比为e r的等比级数的速度增长。

（2）改进的马尔萨斯人口指数增长模型如果人口增长率不为常数，且假设其与时间关系如（3）式，则将（3）式带入（2）式可求得改进后的马尔萨斯人口指数增长模型如下所示x t=ax0(6)bx0+(a−bx0)e−(t−t0)a（3）洛杰斯蒂克（Logistic）模型当人口比较稀少，资源比较丰富的条件下，人口增长比较快，可在短期维持常数增长率，但当人口数量增长到一定水平后，会产生许多问题，如食物短缺交），这反映了人口通拥挤等，这又将导致人口增长率下降，故假设B-D=rx（1-xk的增长率随人口数量的增加而下降的现象，此时r称为固有增长率，k称为环境容纳量。

按此修改的假设得到人口增长的洛杰斯蒂克模型dx （t ）dt =rx （1−xk ） x （t 0）=x 0 （7）方程（7）求解的x （t ）=k1+（k x 0−1）e −(t−t 0)r1） t→∞lim x (t )=k ,表示当时间无限增加时，人口总数都会趋于其环境容纳量。

2） 当x(t)>k 时，dx （t ）dt <0,当x(t)<k 时，dx （t ）dt >0.表示当人口数量超过环境容纳量时人口数量将减少；当人口数量小于环境容纳量时，人口数量将增加。

六、 模型求解：以美国1790-1980年人口的数据作为原始数据来寻找模型参数r 的估计值，以1790年为基准年，根据马尔萨斯人口模型，利用matlab 进行得出拟合值和预测值，并画出预测与实际值的图形。

1.马尔萨斯模型求解（1）通过用线性最小二乘拟合方法将马尔萨斯模型推导：x(t)=x 0e rt =>ln x(t)=ln x 0+rt y=p 1t +p 0=>y=lnx(t),p 1=r,p 0=lnx 0 r=p 1, x 0=e p 0其中输入t ，x(t)，y=log(x(t))与a=polyfit(t,y,1), 求解得拟合多项式系数p=0.0214 -36.6198，r=0.0214，x 0=1.2480e −016所以得到人口关于时间的函数为：x(t)=x 0e rt ，其中r=0.0214，x 0=1.2480e −016。

将r 和x 0代入公式得：x(t)=1.2480e −016∗e 0.0214t根据上边公式1990-2030美国人口预测值如下表（1）：表（1）美国人口在马尔萨斯模型下的预测值则实际图和拟合图如下（见附录2）：图2.马尔萨斯指数模型的预测值与真实值（2）采用matlab中的cft工具箱求解：输入时间t和x(t)后，利用cft对马尔萨斯模型进行拟合，得：Result:General model:f(t)=3.9*exp(r*(t-1790))Coefficients (with 95% confidence bounds):r = 0.02222 (0.02163,0.02281)将r代入公式得x(t)=3.9e0.02222(t−1790)则1990-2030美国人口预测值如下表（2）：表(2).美国人口预测值马尔萨斯人口指数增长模型拟合数据与实际数据曲线如下图(3)所示:图3.cft得出的美国人口实际图与预测图2. 改进的马尔萨斯人口增长模型：用cft工具箱对改进后的马尔萨斯模型进行拟合得:Result:Generral madel:f(t)=3.9*a/(3.9*b+(a-3.9*b)*exp(-a*(t-1790)))Coefficients (with 95% confident bounds):a = 0.02858 (0.02763, 0.02953)b = 9.997e-005 (8.694e-005,0.000113)所以改进后的马尔萨斯模型公式为：x t=3.9∗0.028583.9∗90997e−005+(0.02858−9.997e−005∗3.9)e−3.9∗(t−1790)由此得到1990-2030年美国人口预测值（见附录6）如下表（3）：改进后的马尔萨斯模型与实际人口数量曲线如下图（4）所示图（4）改进后的马尔萨斯模型根据公式从1790-2030年的预测值（见附录3）如下图（5）所示：图左.1790-2010年美国人口实际值图右.1790-2030年美国人口预测值经分析很明显当增长率r保持不变时，拟合预测值与实际值相差较大。

当考虑自然因素的人口的影响下，当人口增长到一定值时，r会有所改变，即由改进的马尔萨斯人口增长模型克制美国人口不肯能呈指数增长，当达到一定值时，会趋于饱和增长率逐渐降低。

符合人口增长趋势。

3.Logistic模型求解根据matlab里的cft工具对Logistic模型进行拟合，得：Result：General model:f(t)=k./(1+(k./3.9-1).*exp(-r*(t-1790)))Coefficients (with 95% confidence bounds):k = 369.1 (336.9 , 401.3)r = 0.02684 (0.02603,0.02765)即将k和r得logistic公式得x（t）=369.1−1）e−(t−1790)∗0.026841+（369.13.9则1990-2030年的预测值如下表（4）：表(4).Logistic模型对未来人口的预测Logistic模型下的实际值与预测值图像如下图(6)：图（6）.logistic模型下的预测图4.模型的验证情况据资料[2]显示,1990-2010的美国实际人口为248.7,281.4,308.7（单位：百万人）下表（5）为三种模型的预测值及其与实际值的相对误差：表(5).三种人口预测模型的比较从表中可以看出利用马尔萨斯模型进行人口增长的预，其结果的相对误差会相对比较大，而改进后的马尔萨斯人口增长模型模型与logistic模型误差相对较小，logistic模型相对预测的更加精确一些。