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【数学】培优 易错 难题一元二次方程辅导专题训练及详细答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.李明准备进行如下操作实验,把一根长40 cm 的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2,李明应该怎么剪这根铁丝?(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2,你认为他的说法正确吗?请说明理由.【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段;(2) 李明的说法正确,理由见解析. 【解析】试题分析:(1)设剪成的较短的这段为xcm ,较长的这段就为(40﹣x )cm .就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于58cm 2建立方程求出其解即可; (2)设剪成的较短的这段为mcm ,较长的这段就为(40﹣m )cm .就可以表示出这两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于48cm 2建立方程,如果方程有解就说明李明的说法错误,否则正确.试题解析:设其中一段的长度为cm ,两个正方形面积之和为cm 2,则,(其中),当时,,解这个方程,得,,∴应将之剪成12cm 和28cm的两段;(2)两正方形面积之和为48时,,,∵, ∴该方程无实数解,也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm 2,李明的说法正确.考点:1.一元二次方程的应用;2.几何图形问题.2.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程;(2)若这个方程有两个实数根x 1,x 2,求a 的取值范围;(3)若方程两个实数根x 1,x 2满足[2+x 1(1﹣x 1)][2+x 2(1﹣x 2)]=9,求a 的值. 【答案】(1)123,4x x =-=(2)54a ≤(3)-4 【解析】分析:(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案; (2)根据判别式即可求出a 的范围; (3)根据根与系数的关系即可求出答案.详解:(1)把a =﹣11代入方程,得x 2﹣x ﹣12=0,(x +3)(x ﹣4)=0,x +3=0或x ﹣4=0,∴x 1=﹣3,x 2=4;(2)∵方程有两个实数根12x x ,,∴△≥0,即(﹣1)2﹣4×1×(a ﹣1)≥0,解得54a ≤:; (3)∵12x x ,是方程的两个实数根,222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-,,,.∵[2+x 1(1﹣x 1)][2+x 2(1﹣x 2)]=9,∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦,把22112211x x a x x a -=--=-, 代入,得:[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9,即(1+a )2=9,解得:a =﹣4,a =2(舍去),所以a 的值为﹣4.点睛:本题考查了一元二次方程,解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系.3.已知为正整数,二次方程的两根为,求下式的值:【答案】【解析】 由韦达定理,有,.于是,对正整数,有原式=4.已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k =0 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围;(2)当k 取最小整数时,求此时方程的解. 【答案】(1)k >﹣12;(2)x 1=0,x 2=﹣1. 【解析】 【分析】(1)由题意得△=(k +1)2﹣4×14k 2>0,解不等式即可求得答案; (2)根据k 取最小整数,得到k =0,列方程即可得到结论. 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k =0 有两个不相等的实数根, ∴△=(k +1)2﹣4×14k 2>0, ∴k >﹣12; (2)∵k 取最小整数, ∴k =0,∴原方程可化为x 2+x =0, ∴x 1=0,x 2=﹣1. 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式△=b 2﹣4ac :当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.5.校园空地上有一面墙,长度为20m ,用长为32m 的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃,如图所示.(1)能围成面积是126m 2的矩形花圃吗?若能,请举例说明;若不能,请说明理由. (2)若篱笆再增加4m ,围成的矩形花圃面积能达到170m 2吗?请说明理由.【答案】(1)长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米;(2)若篱笆再增加4m ,围成的矩形花圃面积不能达到170m 2. 【解析】 【分析】(1)假设能,设AB 的长度为x 米,则BC 的长度为(32﹣2x )米,再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.(2)假设能,设AB 的长度为y 米,则BC 的长度为(36﹣2y )米,再根据矩形面积公式列方程,求得方程无解,即假设不成立. 【详解】(1)假设能,设AB 的长度为x 米,则BC 的长度为(32﹣2x )米, 根据题意得:x(32﹣2x)=126, 解得:x 1=7,x 2=9, ∴32﹣2x=18或32﹣2x=14,∴假设成立,即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米. (2)假设能,设AB 的长度为y 米,则BC 的长度为(36﹣2y )米, 根据题意得:y(36﹣2y)=170, 整理得:y 2﹣18y+85=0. ∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16<0, ∴该方程无解,∴假设不成立,即若篱笆再增加4m ,围成的矩形花圃面积不能达到170m 2.6.已知:关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=.(1)若此方程有两个实数根,求没m 的最小整数值; (2)若此方程的两个实数根为1x ,2x ,且满足22211221184x x x m x +=--,求m 的值. 【答案】(1)-4;(2)m=3 【解析】 【分析】(1)利用根的判别式的意义得到△≥0,然后解不等式得到m 的范围,再在此范围内找出最小整数值即可;(2)利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+,212124x x m =-,然后解关于m 的一元二次方程,即可确定m 的值. 【详解】解:(1)∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根,∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥, ∴290m +≥, ∴92m ≥-; ∴m 的最小整数值为:4m =-;(2)由根与系数的关系得:12(1)x x m +=-+,212124x x m =-, 由22212121184x x x x m ++=-得: ()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=, 解得:3m =或5m =-;∵92m ≥-, ∴3m =. 【点睛】本题考查了根与系数的关系:若x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时,则12bx x a +=-,12c x x a=.也考查了根的判别式.解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.7.已知:关于x 的方程x 2-4mx +4m 2-1=0. (1)不解方程,判断方程的根的情况;(2)若△ABC 为等腰三角形,BC =5,另外两条边是方程的根,求此三角形的周长.2 【答案】(1) 有两个不相等的实数根(2)周长为13或17 【解析】试题分析:(1)根据方程的系数结合根的判别式,可得出△=4>0,由此可得出:无论m 为何值,该方程总有两个不相等的实数根;(2)根据等腰三角形的性质及△>0,可得出5是方程x 2﹣4mx +4m 2﹣1=0的根,将x =5代入原方程可求出m 值,通过解方程可得出方程的解,在利用三角形的周长公式即可求出结论.试题解析:解:(1)∵△=(﹣4m )2﹣4(4m 2﹣1)=4>0,∴无论m 为何值,该方程总有两个不相等的实数根.(2)∵△>0,△ABC 为等腰三角形,另外两条边是方程的根,∴5是方程x 2﹣4mx +4m 2﹣1=0的根.将x =5代入原方程,得:25﹣20m +4m 2﹣1=0,解得:m 1=2,m 2=3.当m =2时,原方程为x 2﹣8x +15=0,解得:x 1=3,x 2=5.∵3、5、5能够组成三角形,∴该三角形的周长为3+5+5=13;当m =3时,原方程为x 2﹣12x +35=0,解得:x 1=5,x 2=7.∵5、5、7能够组成三角形,∴该三角形的周长为5+5+7=17. 综上所述:此三角形的周长为13或17.点睛:本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程,解题的关键是:(1)牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”;(2)代入x =5求出m 值.8.解方程:x 2-2x =2x +1.【答案】x 1=2,x 2=2 【解析】试题分析:根据方程,求出系数a 、b 、c ,然后求一元二次方程的根的判别式,最后根据求根公式x =求解即可.试题解析:方程化为x 2-4x -1=0. ∵b 2-4ac =(-4)2-4×1×(-1)=20, ∴x =4202=2±5 , ∴x 1=2-5 ,x 2=2+5.9.重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫,每件成本价为20元,每天销售150件: (1)若要每天的利润不低于2250元,则销售单价至少为多少元?(2)为了回馈广大游客,同时也为了提高这种文化衫的认知度,商店决定在“五一”节当天开展促销活动,若销售单价在(1)中的最低销售价的基础上再降低m%,则日销售量可以在150件基础上增加m 件,结果当天的销售额达到5670元;要使销售量尽可能大,求出m 的值.【答案】(1)销售单价至少为35元;(2)m=16. 【解析】试题分析:(1)根据利润的公式列出方程,再求解即可; (2)销售价为原销售价×(1﹣m%),销售量为(150+m ),列出方程求解即可.试题解析:(1)设销售单价至少为x 元,根据题意列方程得,150(x ﹣20)=2250, 解得x=35,答:销售单价至少为35元;(2)由题意得:35×(1﹣m%)(150+m )=5670,150+m ﹣150×m%﹣m%×m=162,m ﹣m 2=12,60m ﹣3m 2=192, m 2﹣20m+64=0, m 1=4,m 2=16, ∵要使销售量尽可能大, ∴m=16.【考点】一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用.10.已知关于x 的一元二次方程(a+c )x 2+2bx+(a ﹣c )=0,其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长.(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC 的形状,并说明理由;(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.【答案】(1) △ABC是等腰三角形;(2)△ABC是直角三角形;(3) x1=0,x2=﹣1.【解析】试题分析:(1)直接将x=﹣1代入得出关于a,b的等式,进而得出a=b,即可判断△ABC 的形状;(2)利用根的判别式进而得出关于a,b,c的等式,进而判断△ABC的形状;(3)利用△ABC是等边三角形,则a=b=c,进而代入方程求出即可.试题解析:(1)△ABC是等腰三角形;理由:∵x=﹣1是方程的根,∴(a+c)×(﹣1)2﹣2b+(a﹣c)=0,∴a+c﹣2b+a﹣c=0,∴a﹣b=0,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形;(2)∵方程有两个相等的实数根,∴(2b)2﹣4(a+c)(a﹣c)=0,∴4b2﹣4a2+4c2=0,∴a2=b2+c2,∴△ABC是直角三角形;(3)当△ABC是等边三角形,∴(a+c)x2+2bx+(a﹣c)=0,可整理为:2ax2+2ax=0,∴x2+x=0,解得:x1=0,x2=﹣1.考点:一元二次方程的应用.。

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