2019年呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试
理科数学
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题时，考生务必将
自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上. 本试卷满分150分，答题时间120分钟.
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效. 4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 设全集为R ，集合{
}{}
202,1A x x B x x =∣<<=∣≥，则(
)R
A
B =
A. {}01x x ∣<≤
B. {}01x x ∣<<
C.
{}12x x ∣≤<
D.
{}02x x ∣<<
2. 若复数()()21a i i ++（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为
A. 2-
B. 2
C. 12
-
D.
12
3. 已知正方形ABCD 的边长为2，以AB 中点O 为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD
中任取一点P ，则点P 落在该圆中的概率为 A.
6
π B.
8
π C.
4
π D.
2
π 4. 函数()3cos f x x x x =-的大致图像是
A
B
C
D
5. 在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为
A. 9
B. 27
C. 54
D. 81
6. 政府为了调查市民对,A B 两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据
这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的满意度越高）绘制的茎叶图：
则下列说法正确的是 A. 这50位市民对,A B 两部门评分的方差，A 部门的评分方差大 B. 估计市民对,A B 两部门的评分高于90的概率相同 C. 这50位市民对A 部门的评分其众数大于中位数
D. 该市的市民对B 部门的评分中位数的估计值是67
7. 函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,0,2
A π
ωϕ>><
）的图像如图所示，为了得到
()sin 6g x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像，只需将()f x 的图像上所有点
A. 向右平移12
π
个单位长度 B. 向左平移12
π
个单位长度 C. 向右平移
6
π
个单位长度
D. 向左平移
6
π
个单位长度 8. 《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，
其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的 思想设计了如右图所示的程序框图，若输出的值为67，则输入的值a 为 A. 4
B. 5
C. 7
D. 11
9. 圆柱被一个平面截取一部分后与半径为1的半球
组成一个几何体. 该几何体三视图中的正视图和 俯视图如图所示. 若该几何体的表面积为 A. 64π+
B. 52π+
C. 2016π+
D. 54π+
10. 设有三个命题：甲：相交直线,l m 都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线
,l m 中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交. 则当甲成立时，乙是丙
的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
A
B
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
11. 已知函数()1
2
23x f x x -=++与()12
1g x x x =--的零点分别为12,x x ，()12x
h x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
且
()31
3
h x =，则123,,x x x 的大小关系为
A. 123x x x <<
B. 132x x x <<
C. 231x x x <<
D. 312x x x <<
12. 已知双曲线：22
221y x a b
-=（0,0a b >>）的上、下焦点分别为21,F F . 过1F 且倾斜角为
锐角的直线l 与圆222x y a +=相切，与双曲线的上支交于点M . 若线段1MF 的垂直平分线过点2F ，则该双曲线的渐近线的方程为
A. 4
3
y x =±
B. 3
4
y x =±
C. 5
3
y x =±
D. 3
5
y x =±
第Ⅱ卷
本卷包含必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案直接填在题中横线上.） 13. 已知2a =，b 是单位向量，且a 与b 的夹角为60︒，则()
a a
b ⋅-等于 14.
在5
2x ⎛ ⎝
的展开式中，2
x 的系数为 .
15. 设抛物线24y x =-的焦点为F ，准线为,L P 为抛物线上一点，PA L ⊥，A 为垂足. 如
果直线AF
的斜率为PF 为直径的圆的标准方程为 16. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. 令
()
1
1
41n n n n n
b a a -+=-，则数列{}n b 的前100项的和为 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程） 17. （12分）如图，D 是直角ABC △斜边BC 上一点，
AC （1）若60BAD ∠=︒，求ADC ∠及B ∠的大小； （2）若2BD DC =，且AB =AD 的长.
18. （12分）如图，平面四边形ABCD ，AB BD ⊥，2AB BC CD ===，BD =ABD △沿BD 翻折到与面BCD 垂直的位置.
（1）证明：CD ⊥面ABC ；
（2）若E 为AD 中点，求二面角E BC A --的大小
19. （12分）某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价
每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理. 根据以往销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关. 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为
100瓶. 为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得
到下面的频数分布表： （1）求六月份这种饮料一天的需求量X （单位：瓶）的分布列，并求出期望()E x ; （2）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y （单位：元），且六月份这种饮料一天的
进货量为n （单位：瓶），请判断Y 的数学期望是否在()n E x =时取到最大值？
20. （12分）已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）过点()2,1P ，其左右焦点分别为12,F F ，
三角形12PF F （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知,A B 是椭圆C 上的两个动点且不与坐标原点O 共线，若APB ∠的角平分线
总垂直于x 轴，求证：直线AB 与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形.
21. （12分）已知函数()21
2ln 2,2
f x x x m x m R =-++∈.
（1）当1m <时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <
，求证：()12
11f x x ≤<.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计算，作答时请写清题号.
22. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C
的极坐标方程为ρθ=，不与坐标轴重合的直线l 的极坐标方程为0θθ=（R ρ∈），设l 与曲线12,C C 异于极点的交点分别为,A B . （1）当034
π
θ=
时，求AB ； （2）求AB 中点轨迹的直角坐标方程.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()213f x x x =++-.
（1）在给出的直角坐标系中画出函数()f x 的图像；
（2）若关于x 的不等式()f x x m ≥-的解集包含[]4,5，求m。