蓬街私立中学校本作业4
1.（2014•）研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定．定义：六个角相等的六边形叫等角六边形．
（1）研究性质
①如图1，等角六边形ABCDEF中，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么
位置关系？证明你的结论
②如图2，等角六边形ABCDEF中，如果有AB=DE，则其余两组正对边BC与EF，CD与AF
相等吗？证明你的结论
③如图3，等角六边形ABCDEF中，如果三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O，那么三
组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么数量关系？证明你的结论．
（2）探索判定
三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个角为120°，才能保证六边形一定是等角
六边形？
2.定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是
一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点
（1）已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，若AM =2，MN =3求BN 的长；
（2）如图2，在△ABC 中，FG 是中位线，点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，连接AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ，求证：点M ，N 是线段FG 的勾股分割点
（3）已知点C 是线段AB 上的一定点，其位置如图3所示，请在BC 上画一点D ，使C ，D 是线段AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）
（4）如图4，已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，MN >AM ≥BN ，△AMC ，△MND
和△NBM 均是等边三角形，AE 分别交CM ，DM ，DN 于点F ，G ，H ，若H 是DN 的中点，试探究AMF S ∆，BEN S ∆和MNHG S 四边形的数量关系，并说明理由
3.（本题12分）
类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”。
（1）概念理解
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，
请写出你添加的一个条件；
（2）问题探究
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说
明理由；
②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC
沿∠B的平分线BB’方向平移得到△A’B’C’，连结AA’，BC’。
小红要使平移
后的四边形ABC’A’是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB’的长）？
（3）应用拓展
如图3，“等邻边四边形”A BCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，
AC=2AB。
试探究BC，CD，BD的数量关系。
4.如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，
B 两点，如果∠APB 绕点P 旋转时始终满足2OP OB OA =⋅，我们就把∠APB 叫做∠MON 的智慧角.
（1）如图2，已知∠MON =90°，点P 为∠MON 的平分线上一点，以点P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点，且∠APB =135°. 求证：∠APB 是∠MON 的智慧角；
（2）如图1，已知∠MON =α（0°<α<90°），OP =2，若∠APB 是∠MON 的智慧角，连结AB ，用含α的式子分别表示∠APB 的度数和△AOB 的面积；
（3）如图3，C 是函数)0(3>=x x
y 图象上的一个动点，过点C 的直线CD 分别交x 轴和y 轴于点A ，B 两点，且满足BC =2CA ，请求出∠AOB 的智慧角∠APB 的顶点P 的坐标.
5. （2013,24,13分）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
为“好玩三角形”
（1）请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；
（2）如图1,在Rt △ABC 中,∠C =90°,2
3tan A ,求证：△ABC 是“好玩三角形”； （3）如图2,已知菱形ABCD 的边长为a , ∠ABC =2β,点P ,Q 从点A 同时出发,以相同的速度
分别沿折线AB －BC 和AD －DC 向终点C 运动,记点P 所经过的路程为S
①当β=45°时,若△APQ 是“好玩三角形”,试求s
a 的值 ②当tan β的取值在什么围,点P ,Q 在运动过程中,有且只有一个△APQ 能成为“好玩三角形”请直接写出tan β的取值围.
（4）本小题为选做题
依据（3）中的条件,提出一个关于“在点P ,Q 的运动过程中,tan β的取值围与△APQ 是“好玩三角形”的个数关系的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）.
6.过平行四边形ABCD 顶点B 分别作边AD,CD 所在直线的垂线，垂足分别为E,F,连接EF ，则△BEF 叫做平行四边形ABCD 的特征三角形。
如果一个平行四边形是由两个全等的直角三角形拼成，则该平行四边形叫做直角平行四边形，如果一个平形四边形是由两个全等的等腰三角形拼成，那么这个平行四边形叫做等腰平行四边形。
（1） 在下面空格上填写三角形的类别，使对应的两个命题都是真命题：
①命题1：矩形的特征三角形是____________;
命题2：菱形的特征三角形是______________。
②写出命题1的逆命题，并探索其是否正确，若正确，给出证明，若不正确，举出反例。
(2)如果平行四边形ABCD 的特征三角形是等腰三角形，证明：四边形ABCD
是等腰平行四边B 备用图
形。
（3）如果平行四边形的特征三角形是含30°角的等腰三角形，直接写出它的邻边长的平方的比。