位相弯曲因子
附加相移因子
L 2z 2z L x2 y 2 ( x, y, z ) k[ (1 ) ] (m n 1)( ) 2 2 L 1 ( 2 z L) L 2
传播因子
———决定了共焦场的位相分布
L 2z arctan L 2z
一、等相位面的分布
无穷远处等相位面为平 面，曲率中心在z=0处 光束可近似为一个 由z=0点发出的半径 为z的球面波。
共焦腔的反射镜面是两个等 相位面，与场的两个等相位 面重合,且曲率半径达到最小 值 。
3.当 z0 f 时，R( z0 ) z0
R( z0 ) L 2 f 4.当 z0 f 时，
如果在场的任意一个等相位面处放上一块具有相应曲率的反 射镜片,则入射在该镜片上的场将准确地沿着原入射方向返 回,这样共焦场分布将不会受到扰动.这是非常重要的性质.
小结：高斯光束的基本性质
1. 高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯 球面波， 2.在其传播过程中曲率中心不断改变 3.其振幅在横截面内为一高斯光束
例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm, 0.638m
某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, 10.6m
2 2 2.3 103 rad f
2 5.2 10 rad
3
一般激光器的远场发散角都很小，约为10－3弧度，也就是表 明激光具有很好的方向性。
高阶横模的光束发散角 m 和 n 可以通过基模的光斑 和发散角求出来：
2.任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价。
①等价的含义：二者有相同的行波场。
理解：若有焦 距为 f 的共焦 腔,则其任意 两等相面可构 成稳定腔. 共焦腔与稳定球面腔的等价性
求证:任一对称共焦腔( f )等价于无穷多个稳定球面腔
R1
R’
L’
R2
L 共焦腔与稳定球面腔的等价性
焦距f、中心在z=0的对称共焦腔(R’， R’ ，L’ ） 则 ( z1 , z 2)处等价稳定球面腔参数( R1 , R2 , L )为
(3 38)
R0 x 2 y 2 R0
2
R0 x 2 y 2 z z0 R0
2 2 x2 y 2 x y z z0 R0 1 R0 2 2 R0 R0


2
球面方程
——等位相面在近轴区域可看成半径为R0的球面
二.讨论 R0 x y z z0 R0
在近轴情况下，等相位面是顶点位于z0的旋转抛物面，抛物面的焦距为：
z0 f2 f ' 2 2 z0
可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z0处的等相位面近 似为球面，其曲率半径为：
R0 2 f ' z0 [1 (
则有：
2
L 2 f ) ] z0 [1 ( ) 2 ] 2 z0 z0
f2 R1 R( z1 ) ( z1 ) z1 f2 R2 R( z 2 ) ( z2 ) z2 L z 2 z1
f——对称共焦腔焦距(唯一参数)
(因
L ' R1 ' R2 ' 2 f )
思路： 共焦腔
共焦腔的模式理论
等价的稳定球面腔 等价的稳定球面腔的模式理论
处理原则：稳定球面腔与共焦腔的等价性。
3.4.1 稳定球面腔的等价共焦腔
1. 将共焦腔的模式理论推广到一般稳定球面镜腔的理由?
① 在共焦场的任意两等相面处放上相应曲率半径的球面反射镜，原共 焦场分布不受影响。 ②由于任一共焦腔有无穷多个等相位面，因此可以用这种方法逻辑地 建立起无穷多个新的谐振腔——稳定腔。
R0 x y z z0 R0
2 2 2
2
R0 z0 [1 (
L 2 f ) ] z0 [1 ( ) 2 ] 2 z0 z0
2 2
x y zz 2 R( z )
0
5.当 z0 0 时，R(z) 0 6.当 z0 0 时，R(z) 0
1
2 2 x H n 1 2 w s
2 x2 y2 y exp 1 2 w2 行波场横向振幅分布因子 s
—厄米—高斯函数 在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从 中心(即传输轴线)向外平滑地降落。 花样：沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。
2z 2 2 L 2 z0 L 2 z x y L k 1 z k 1 z 0 2 2 2 L L 2 L 2 2z 1 L
二、振幅分布和光斑尺寸 1、振幅分布
对基横模TEM00
U 00 2 x2 y2 Cmn exp 1 2 2 s
2
基横模TEM00的光强 I 00 U 00
4 x2 y 2 C exp 1 2 2 s
2
exp i x, y, z ：位相因子，决定了共焦腔的位相分布
2 2 umn x, y, z Cmn H m 1 2 w s
2 2 x H n 1 2 w s
2 x2 y 2 y exp 1 2 w2 exp i x, y, z s
4.强度集中在轴线及其附近
5.等相位面保持球面
3.4 稳定球面腔的光束传播特性
一般的稳定球面腔指曲率半径不同的球面镜、腔长按任 意间距构成但腔的g 参数满足稳定条件 0<g1 g2 <1的谐振腔. 一般的稳定球面腔指的模式理论可以根据光腔的衍射积 分方程严格建立起来,但更为简明的研究方法是以共焦腔模式 理论为基础的等价共焦腔法.
2 2 2
2
L 2 f 2 R0 z0 [1 ( ) ] z0 [1 ( ) ] 2 z0 z0
注：高斯光束等相面的曲率中 心并不是一个固定点，它要随 着光束的传播而移动。
束腰处的等相位面为平面， 曲率中心在无穷远处
R (z 0 ) 1.当 z0 0 时， R (z 0 ) 2.当 z0 时，
2 m 2m 1 2 0 2 n 2n 1 2 0
2 0为基模光束的发散角
由于高阶模的发散角是随着模的 阶次的增大而增大，所以多模振 荡时，光束的方向性要比单基模 振荡差。
3.3.2 高斯光束的相位分布
共焦腔内或腔外的一点的行波场的解析式：
2 2 2 2 umn x, y, z Cmn H m 1 2 w x H n 1 2 w y s s 相位因子 2 2 2 x y exp exp i x, y, z 2 2 ws 1
3、等相位面的特点
2z x2 y 2 L z z0 2 L 2z 1 L
2 z0 x2 y 2 x2 y 2 L 2 L L 2 2 z0 1 2 z0 1 L 2z 0
z 0
0
R ( z0 ) 0 R ( z0 ) 0
zz 0
0
z 0
0
zz 0
0
——共焦腔的等相面是凹面向着腔的中心的球面 结论:在z ＜ 0 处,光束是沿着z的方向传播的会聚球面波; 在z = 0处变成一个平面波;
在 z＞0处又变成发散球面波。
三.共焦场的等相位面的分布图
共焦场等相面的分布 可以证明：
2 lim
2 ( z ) z z
( z) 0
z 2 1 ( 2 ) 0
2 2
பைடு நூலகம்
2 2 L 0
高阶模的发散角随阶次的增大而增大，方向性变差！
2 2 2 2 L 0
不同的腰半径的激光光束的远场发散角对比图
L 2z [1 ( ) 2 ] 2 L
L
z 达到最小值 ①当 z=0 时，
1 1 0 s 2 2
——高斯光束的基模腰斑半径(腰粗)
②当
zf L 2
时，即在镜面上时，有：
L ( z ) 在纵截面上的表达式 3、 z 20
L 2z 2 ( z) [1 ( ) ] z 2 2 z2 2 L 1 ( z ) 0 1 ( 2 ) 2 2 2 0 0 (0 ) 1 1 L 0 s 2 2
1、等相位面——行波场中相位相同的点连成的曲面
2、与腔轴线相交于z0的等相位面的方程
x, y, z 0,0, z0
L 2z 2z L x2 y 2 ( x, y, z ) k[ (1 ) ] ( m n 1 )( ) (0,0, z0 ) 2 L 1 ( 2 z L) 2 L 2
2 z2 1 2 2 2 0 (0 )
——光斑半径随z按照双曲线规律变化。
三、 模体积
1、定义：描述某一腔模在腔 内扩展的空间体积。 2、意义：模体积大。对激活 图(3-8) 基模光斑半径随z按双曲线规律的变化 介质能量的提取就大，对模 式振荡作贡献的粒子数越多， 就有可能获得大的输出功率。 决定一个模式能否振荡，能 获得多大的输出功率，与其 它模式的竞争情况等。 3、对称共焦腔基模的模体 2 1 L 0 2 积：看成底半径为ω 0，高 V00 L0 s 2 2 为L的圆柱体。
3.3 高斯光束的传播特性
回顾 ——求解对称开腔中的自再现模积分方程,了解输 出激光的具体场的分布 前瞻 —— 研究高斯光束的传播特性
3.3.1 高斯光束的振幅和强度分布