q2 q1 F
• q参数的变换规律可统一表示为
q2

Aq1 B Cq1 D
• 结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD公式，由
光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定。
• 优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的q参数值 (将q称为复曲率半径the complex radius of curvature)
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• 高斯光束在其传输轴线附近可近似看 作是一种非均匀球面波，其曲率中心 随着传输过程而不断改变，但其振幅 和强度在横截面内始终保持高斯分布 特性，且其等相位面始终保持为球面。
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三、基模高斯光束的特征参数
用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束
用参数(z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决
• 附加相移为 • 光斑半径
mn

(m 2n 1)arctg
z f
mn(z) m 2n 1(z)
• 发散角
mn m 2n 10
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§2.6 高斯光束q参数的变换规律
• 普通球面波的传播规律 • 高斯光束q参数的变换规律 • 用q参数分析高斯光束的传输问题
定高斯光束腰斑的大小0和位置z
高斯光束的q参数
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00 (x, y, z)

c (z)
exp[


r2 2(z
)
]
exp{
i[k
(
z

r 2 ) arctg 2R(z)
z f
]}
重新整理

00
(
x,
y,
z
)


c (z)
exp{
ik
r2 2
[1 R(z)


R(z)
z
f2 z
2 f z
z f z f z f
• The wavefront is flat or planar right at the waist, corresponding to an infinite radius of curvature or R(0)=. As the beam propagate toward, however, the wavefront gradually becomes curved, and the radius of curvature R(z) drops rather rapidly down to finite values.
1 q(z)

1 R(z)
i
2 (z)
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三、用q参数分析高斯光束的传输问题
• 已知：入射高斯光束腰斑半径为0 ，束腰与透 镜的距离为l，透镜的焦距为F。
• 求：通过透镜L后在与透镜相距lC处的高斯光束 参数C和RC。
• 思路1：
• 在z=0处 q(0)=i02/
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一、普通球面波的传播规律
• 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心为O(z=0)。 • 在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L
• 傍轴球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半径满足 (应用牛顿公式)
1 1 1 R2 R1 F • 球面波的传播规律可以统一写成
思路2？
步步为营/一步到位
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特例：高斯光束腰斑的变换规律
• 若将C点取在像方束腰处，则有RC、 Re[1/qC]=0，可以求出像方束腰到透镜的 距离l和像方腰斑的大小0 。
l

F

(l

(l F
)2
F )F 2
(
2 0
)2

02

(F
F
2
2 0

,0

f
0为基模高斯光束的腰斑 半径，f 称为高斯光束的共 焦参数
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R R(z) z[1 ( f )2 ] f ( z f ) z f 2
z
fz
z
R(z)：与传播轴线相交于z点的高斯光束等相位
面的曲率半径
(z) 0
1 ( z )2 f
i
]}exp[ i(kz arctg
2 (z)
z )] f
引入一个新的参数q(z)， 定义为
1 q(z)

1 R(z)
i
2 (z)
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• 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知
道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下
式求出该位置处(z)和R(z)的数值
m

lim
z
2m (z)
z

2m 1 2 0
2m 10
n

lim
z
2n (z)
z

2
2n 1
0
2n 10
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• 拉盖尔-高斯光束(柱对称稳定腔、圆形孔径共焦
腔)
• 柱对称系统中的高阶高斯光束的横向场分布
由下列函数描述，沿半径r方向有n个节线圆，
• 在A处（紧靠透镜的左方）qA=q(0)+l
• 在B处（紧靠透镜的右方）1/qB=1/qA-1/F
• 在C处 qC=qB+lC
qC C、RC
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l(F l) f 2
F2 f
qc lc F (F l)2 f 2 i (F l)2 f 2
q(z) through a complicated sequence of lenslike
elements. The beam radius R(z) and spot size (z)
at any plane z can be recovered through the use
of the following expression
R2

AR1 B CR1 D
• 结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由 其曲率半径R来描述，传播规律由变换矩阵确定。
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二、高斯光束q参数的变换规律—ABCD公式
• 研究对象：高斯球面波—非均匀的、曲率中心不断改变的球 面波
• q参数在自由空间的传输规律q(z)=q0+z，q2=q1+L • 通过薄透镜的变换 1 1 1
• 相位因子等相位面的曲率半径R(z) • 因子kr2/2R(z)表示与横向坐标（x,y）有关的相位移
动，表明高斯光束的等相位面是以R(z)为半径的球 面，其曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随z不 同而不同；当z=f时，R(z) =2f；当z =0时， R(z)； z 时， R(z) 。
此时，可用几何光学处理傍轴光线的方法来处
理高斯光束
特殊情况：当l F l F 与几何光学迥然不同
还可方便地求出透镜焦平面上的光斑大小：
沿辐角方向有m根节线
Lmn
(2
r2
2
)e
r2 2
cosm sin m
The higher-order Laguerre-gaussian mode patterns are characterized by azimuthal and radial symmetry.
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§2.5 高斯光束的基本性质及特征参数
• 一、沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示
00 (x, y, z)

c (z)
exp[


r
2
2
(
z
)
]
exp{
i[k
(
z

r 2 ) arctg 2R
z ]} f
其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2/，
f


2 0
径为(z)；光斑半径随坐标z按双曲线规律扩展
远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的
1/e2点的远场发散角）
far-field beam angle
0
2(z)
lim z z

2
0
2
f
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Wavefront radius of curvature R(z)
(Higher-order Gaussian modes)
• 厄米特-高斯光束 (方形孔径的共焦腔或稳定球面腔)
• 其横向场分布由高斯函数和厄米特多项式
(Hermite polynomial)的乘积决定，沿x方向有m
条节线，沿y方向有n条节线
er22 H m
2

x Hn
l)2 (
2 0
)2

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2
当满足

2 0

(l F )2
l F F 2 lF lF lF
物高斯光束束腰离透镜足够
远
1 1 1 l l F
腰斑放大率 k 0 F l
0 l F l
几何光学之物和像
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• 附加相移
mn
(m n 1)arctg
z f
• x方向和y方向的光腰尺寸 m2 (2m 1)02
n2

(2n

1)
2 0
• 在z处的光斑尺寸 m2 (z) (2m 1) 2 (z)