) n(n1)(n2)...(nk1) n
k
(k 1)(k 2)...1
k
n1 k 1

n k
n
n
k
n k
1
n k
n
k k
1
k
n
1
证：某班有n名同学，要选出k位班委会成 员，再选1名作书记，这名书记不可以是班 委会成员，问有多少种不同的方案？
证明：从n名同学中选出k位组成班 委，在k位班委中选1人做班长，问 有多少种方法？
习题
录
第四章 二项式系数 4.1 二项式定理 4.2组合恒等式 4.3非降路径问题 4.4牛顿二项式定理 4.5多项式定理 4.6 基本组合计数的应用 本章小结
习题 第五章 包含排斥原理 5.1 包含排斥原理 5.2 多重集的r-组合数 5.3错位排列 5.4 有限制条件的排列问题 5.5有禁区的排列问题 本章小结
四个推论
) n
推论4.1.1：如 nN,x,yR,有 (xy)n
n nkxkynk
k0
) ) n
n kxnkykn
n nkxnkyk
k0
k0
) ) 推论4.1.2：如 n N , x R ,有 ( 1 x ) n nn k x k nn n k x k
k 0
k 0
) n
（1）对称式
kn
n
n
k
(4.1)
（2）抽取式 knknnn11, n,k为正整 . 数 (4.2)
（3）Pascal公式
knnk1kn 11, n,k为正整 . (数 4.3)
§4.1二项式定理
抽取式（4.2）§：4如.2 组n,合k∈恒N等，式有及其C(含n,义k)抽=(取n式/k)(4C.2(n) -1,k-1)
§4.1§4二.1二项项式式定定理理
定理 4.1
) 如 n N , x ,y R ,有 ( x y ) n nn k x k y n k k 0
证 明 ： 因 为 (x+y)n=(x+y)(x+y)…(x+y) ， 等 式 右 端 有 n 个 因 子 ， 项
xkyn-k是从这n个因子中选取k个因子，k=0,1,…,n。在这k个(x+y)里
k 0
k 0
) n
推论4.1.3：如 nN,有
n k 2n
) kn 0
推论4.1.4：如 nN,有(1)k
n k0
(4.5)
k0
证明：在推论4.1.2中令x=-1，即可得证。
另外，该等式还表明A={an}的偶数子集个数和奇数子集个数相等。
即
0 nn 2 1 nn 3 . 奇n 子元集集(4个合.数的5相偶)’等子集个数与
推论4.1.3：如 nN,有
n k 2n
(4.4) n元集合的所有子集个数是2n
k0
证明：在推论4.1.2中令x=1，即可得证。
利用组合分析，等式左端相当于从A={an}中任意选择k(0≤k≤n)个 元素的所有可能数目，即对n个元素，每一个都有被选择和不被 选择的可能，总的可能数为2n。 另外，该等式还表明A的所有子集个数为2n。
§§44.2. 组2 合组恒合等恒式及等其式含义及恒其等含式(义4.6)
n
恒等式(4.6) ： 如 n N ,有kC (n ,k)n2n 1 k 1
证明：考虑盒子1中有n个有区别的球，从中取一个球放入盒子2
中，再取任意多个球放入盒子3中。等式左端表示先从盒子1中
都 取 x ， 而 从 剩 下 的 n-k 个 因 子 (x+y) 中 选 取 y 作 乘 积 得 到 ， 因 此
xkyn-k的系数为上述选法的个数C(n,k)。故有
证毕。
) n
(xy)n
n kxkynk
k0
注：可用数学归纳法证明，证明略；
C(n, k)又称二项式系数。
§§44..11二二项项式定式理定推论理1
习题
目录（2）
第六章 递推关系 6.1 Fibonacci数列 6.2 常系数线性齐次递推关系的求解 6.3 常系数线性非齐次递推关系的求 解 6.4 用迭代和归纳法求解递推关系 本章小结
习题 第七章 生成函数 7.1生成函数的定义和性质 7.2多重集的r-组合数 7.3正整数的划分 7.4指数生成函数与多重集的排列问 题 7.5 Catalan数和Stiring数 本章小结
重点：二项式定理、多项式定理证明方法及其应用； 难点：一些组合恒等式证明方法，非降路径问题组合意
义及应用。
第4章 二项式定理
§4.1二项式定理
1.二项式系数
( ) 组合数C(n,k)或者
n k
也叫二项式系数.
2. 组合数的定义
knk0!,(nn! k)!,
k n, 0kn.
§4.1 二项式定理
3.组合数的一些恒等式
§§44.1.1二二项项式定式理定推论理2
四个推论
) n
推论4.1.1：如 nN,x,yR,有 (xy)n
n nkxkynk
k0
) ) n
n kxnkykn
n nkxnkyk
k0
k0
) ) 推论4.1.2：如 n N , x R ,有 ( 1 x ) n nn k x k nn n k x k
习题
第八章 Polya定理 8.1置换群中的共轭类与轨道 8.2 Polya定理的特殊形式及其应用 本章小结
习题
********************** 课程总结
第4章 二项式定理
教学目标：
1．掌握二项式定理、证明方法及其应用； 2．掌握推广的二项式定理； 3．掌握多项式定理、证明方法及其应用； 4．理解一些组合恒等式的意义及其证明方法； 5．非降路径问题的组合意义及应用；
组合数学课件第四 章二项式系数
目录（1）
目
第1章 什么是组合数学 1.1引例 1.2组合数学研究对象、内容和方法 第2章 鸽巢原理 2.1 鸽巢原理：简单形式 2.2 鸽巢原理：加强形式 2.3 Ramsey定理 2.4 鸽巢原理与Ramsey定理的应用 本章小结
习题 第3章 排列与组合 3.1 两个基本的计数原理 3.2 集合的排列与组合 3.3 多重集的排列与组合 本章小结
证明：从n个元素中取k个的组合可先从n个元素中取1个，再从
剩下的n-1个元素中选择k-1个，组合数为C(n-1,k-1)。选出的k个
元素都有可能被第一次选中，因是组合，故重复度为k。得证。
) ) 或通过计算证明： 若k n,
n k
n k
n1 k 1
0
若1k n,有
)n
k
n(n1)...(nk 1) k(k 1)...1