C
x7 25 ,求x．
x=6或7
C （3）已知：
14 t
C ,求 C
4 t
t =190 20
引例2：一个口袋内装有大小相同的7个白球 和1个黑球． （1）从口袋内取出3个球,共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑 球,有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球,使其中不含黑球, 有多少种取法？ 解： ⑴
1
复习巩固：
1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2、组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数 m ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C n 表示. 3、组合数公式:
m n! A n(n 1)(n 2)(n m 1) m m n Cn Cn m Am m! m !(n m)!
C 56
3 8
2 ⑵ C7
21
3 7
⑶
C 35
3 7
我们发现： C
3 8
C C
2 7
这是为什么呢?
C C C
3 8 2 7
3 7
我们可以这样解释:从口袋内的8个球中 所取出的3个球,可以分为两类:一类含有1个
黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原
理,上述等式成立. 思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
3
3ห้องสมุดไป่ตู้
100
3
3
2
8
9
8
3
3
2
2
8
8
8
8
56 8
3
0 1 2 9 例2 （）计算 1 C4 C5 C6 C13 ；
（2）计算C C C C ；
2 2 2 3 2 4 2 10
常用的等式:
C C
0 k
0 k 1
C C
k k
k 1 k 1
1
练习：
7 7 8 若 C C C (1) n 1 n n , 则n _______
2010 例如:C 2011
说明：
C
2011 2010 2011
C
1 2011
2011
0 n
2、为了使性质1在m＝n时也能成立,规定 C
1
3、Cnx Cny x y或x y n
4、该性质又叫对偶法则
练习
97 （1）计算：C100 =161700
C （2）已知：
2x 25
m m个元素组成的，共有C n 个
由分类计数原理，得 m m 性质2 n 1 n
C
C C
m 1 n
性质2的证明
C
m n
m n 1
m 1 n
C C
m n
m 1 n
证明 :
n! n! m!( n m)! ( m 1)![ n ( m 1)]! n!( n m 1) n!m (n m 1 m)n! m!(n m 1)! m!(n 1 m)! (n 1)! m C n 1 . m![( n 1) m]!
(含元素a)
4 该性质又叫增一法则
化简（用 C 练习：
m n 形式表示）
C C
90 99 89 99
C990C989
C
9 2004
90 100
变式一：C
10 2005
C
C
90 99
10 2004
m Cn
变式二：C
90 100
7 m
-C C
89 99
变式三： C -C
8 m1
C 0
8 m
例 1 计算
(1)
C
198
; 200
C
2 99
2 200

200 199 21
19900
( 2 )
( 3)
C C ; 100 99 98 C 3 2 1 161700 2C C C . 2C (C C ) C C
99
C C
C
m n 1
C C
m n
而
m 1 n
的两个组合数之
注:1 公式特征:
和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大 的相同的一个组合数． 2 此性质的作用:恒等变形,简化运算. 3 等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.
C
m n1
C (不含元素a) C
m n
m1 n
(6)计算C 5 2 C 5 2 C 5 2 C 5 C 5
1
2
3
4
5
1、组合数的两个性质
C C
m n
nm n
C
m
C Cn n 1 n
m
m 1
2、数学思想：
⑴从特殊到一般的归纳思想．
⑵取法与剩法的一一对应的思想. (3)含与不含其元素的分类思想
一般地，从a1 , a2 , , an 1这n 1个不同的元素中取 出m个元素的组合数是C ，
m n 1
这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an 1这n个元素中取出
m 1 m 1个元素与a1组成的，共有C n 个；
不含a1的组合是从a2 , a3 , , an 1这n个元素中取出
14
7 7 x , 则x （2）已知C12 = C11 + C11
6或5 3n 6 4n 2 （ 3）若C18 C18 , 则n 2 3 4 5 6 (4)计算 C7 C7 C8 C9 210
计算 A A A A （ 5）
2 3 2 4 2 5 2 100
从7位同学中 选出3位同学 对应
剩下的4位同 学构成一个组 合
构成一个组合 从7位同学中
选出3位同学 的组合数 C 3
7

3 7
从7位同学中选 出4位同学的组 合数
4 7
C
即： C
C
4 7
思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后, 剩下n–m个元素,因此从n个不同元素中取出m个不 同元素的每一个组合,与剩下的n–m个元素的每一 个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出 个不 同元素的组合数, 从这n个元素中取出 个 元素的组合数.即
计算C C C C
2 2 2 3 2 4
2 10
有简洁的计算方法吗？
新课教学：
引例1：某小组有7人: ⑴选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的选法?
C 35
3 7
⑵选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不同的选 法?
C 35
4 7
即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校园劳动 都有35种不同的选法. 思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同? 这一结果的组合的意义是什么？
C C
m n
nm n
这就是我们今天学习的组合数的第一个性质.
性质1
C C
m n
nm n
性质1的证明
n! n! nm C Cn m!(n m)! (n m)![n (n m)]!
m n
n n m m 1、为简化计算,当m＞ 时,通常将计算Cn 改为计算 Cn 2